Odpre glavni meni

Pravilni polieder

ZnačilnostiUredi

Značilnosti ekvivalentnostiUredi

Značilnost, da imajo podobno razporeditev stranskih ploskev okrog oglišča, se lahko zamenja z eno izmed naslednjih trditev:

Koncentrične sfereUredi

Pravilni poliedri imajo tri sfere, ki si delijo središča:

SimetrijaUredi

Pravilni poliedri so med poliedri najbolj simetrični. Nahajajo se v treh simetrijskih grupah, ki imajo po njih tudi imena:

  • tetraederska
  • oktaederska (ali kubična)
  • ikozaederska (ali dodekaederska)

Eulerjeva karakteristikaUredi

Pet platonskih teles ima Eulerjevo karakteristiko enako 2, nekatere pravilne zvezde pa imajo drugačno vrednost.

Notranje točkeUredi

Vsota razdalj od poljubne točke v notranjosti pravilnega poliedra do stranic je neodvisen od lege točke (to je razširitev Vivianovega izreka. Obratno ne velja celo za tetraedre.[1]

Dualnost pravilnih poliedrovUredi

Pravilni poliedri nastopajo v naravnih dvojicah. Vsak polieder izmed dvojice je dual dualno telo drugega.

Schläflijev simbol duala je enak prvotnemu napisanem v obratnem redu. Zgled: dualno telo za {5,3} je {3,5}

PosplošitveUredi

Pravilni poševni poliedriUredi

Coxeter in Petrie sta v začetku dovoljevala »sedlasta« oglišča z izmenjujočimi se grebeni in dolinami. To je omogočalo neskončne poševne ploskve. Te sta imenovala pravilni poševni poliedri [2] Za te oblike je Coxeter ponudil spremenjene Schläflijeve simbole v obliki {l,m|n}, kjer so uporabljene slike oglišč {l,m}. Pri tem so m pravilni l-kotniki okoli oglišča. N pa določa n-kotne luknje. Te slike oglišč so pravilni poševni mnogokotniki.

Neskončni pravilni poševni poliedri trirazsežnem prostoru (delno narisano)
 
{4,6|4}
 
{6,4|4}
 
{6,6|3}

Končni pravilni poševni poliedri obstojajo v štirirazsežnem prostoru. Ti končni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru se lahko obravnavajo kot podmnožica stranskih ploskev uniformnega polihorona. Dve dualni rašitvi sta povezani s 5-celico, dve dualni rešitvi sta povezani s 24-celico. Neskončna množica sebi dualnih duoprizem generira pravilne poševne poliedre z {4,4|n}. V neskončnosti limiti se približujejo duocilindru in izgleda kot torus v stereografski projekciji v trirazsežni prostor.

Končni pravilni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru
Ortogonalne projekcije na Coxeterjevo ravnino Stereografska projekcija
A4 F4
         
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} {4, 4 | n}

Pravilni poliedri v neevklidskih prostorihUredi

Proučevanja neevklidskih hiperboličnih, eliptičnih in kompleksnih prostorov je vodilo k odkritju novih poliedrov kot so kompleksni poliedri. Ta telesa lahko zavzamejo svojo pravo obliko samo v teh prostorih.

Abstraktni pravilni poliedriUredi

V današnjem času se poliedri se razumejo kot tri razsežne splošne oblike politopov v poljubnem številu razsežnosti.

Polieder  
srednji rombski triakontaeder
 
dodekadodekaeder
 
srednji triambskiikozaeder
 
ditrigonalni dodekadodekaeder
 
izkopan dodekaeder
Slika oglišč {5}, {5/2}
  
(5.5/2)2
 
{5}, {5/2}
  
(5.5/3)3
 
 
Stranske ploskve 30 rombov
 
12 petkotnikov
12 pentagramov
  
20 šestkotnikov
 
12 petkotnikov
12 pentagramov
  
20 šestkotnikov
 
Tlakovanje  
{4, 5}
 
{5, 4}
 
{6, 5}
 
{5, 6}
 
{6, 6}

Tlakovanja realne projektivne ravnineUredi

Druga skupina pravilnih abstraktnih poliedrov vključuje tlakovanja realne projektivne ravnine. To vključuje polkocko, poloktaeder, poldodekaeder]] in polikozaeder. To so projektivni poliedri in so projektivni dvojniki Platonskih teles. Tetraeder nima projektivnega dvojnika, ker nima vzporednih stranskih ploskev, ki bi jih lahko definirali kot eno. To se namreč lahko naredi za štiri Platonska telesa.

 
polkocka
{4,3}
 
poloktaeder
{3,4}
 
poldodekaeder
{3,5}
 
polikozaeder
{5,3}

Sferni poliedriUredi

Glavni članek: sferni polieder.

Običajnih devet pravilnih poliedrov lahko prikažemo kot sferno tlakovanje oziroma kot tlakovanje sfere.

 
tetraeder
{3,3}
 
kocka
{4,3}
 
oktaeder
{3,4}
 
dodekaeder
{5,3}
 
ikozaeder
{3,5}
 
mali stelirani dodekaeder
{5/2,5}
 
veliki dodekaeder
{5,5/2}
 
veliki stelirani dodekaeder
{5/2,3}
 
veliki ikozaeder
{3,5/2}

Pravilni poliedri, ki lahko obstajajo le kot sferni poliedriUredi

Glej tudi hozoeder in dieder

Pri pravilnih poliedrih, ki imajo Schläflijev simbol {m,n} se lahko dobi število stranskih ploskev mnogokotnika s pomočjo obrazca:

 .

Platonska telesa nudijo edino rešitev s celimi števili za m ≥ 3 in n ≥ 3. Omejitev m ≥ 3 zahteva, da morajo stranske ploskve mnogokotnikov imeti najmanj tri stranice.

Če obravnavamo poliedre kot sferno tlakovanje ta omejitev ni nujno tako stroga. To pa je zaradi tega, ker lahko dvokotnik prikažemo kot sferne lune, ki imajo neničelno površino. Če dovolimo m = 2,omogočimo nastanek novega razreda pravilnih poliedrov, ki so hozoedri.

Dieder v trirazsežnem evklidskem prostoru se lahko obravnava kot izrojena prizma. Sestavljata jo dva (ravninska) n-kotna mnogokotnika. Kot sferno tlakovanje lahko dieder obstoja kot neizrojena oblika s stranskimi ploskvami, ki imajo n stranic in pri tem pokrivajo sfero.

 
enostrani dieder
{1,2}
 
dvostrani dieder
{2,2}
 
tristrani dieder
{3,2}
...  
šeststrani dieder
{6,2}
... {n,2}
 
enostrani hozoheder
{2,1}
 
dvostrani hozoeder
{2,2}
 
tristrani hozorder
{2,3}
...  
šeststrani hozoeder
{2,6}
... {2,n}

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

  • Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006), "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37 (5): 390–391 
  • Coxeter, Harold Scott MacDonald (1999), "Poglavje 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937", The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, ISBN 0-486-40919-8 

Zunanje povezaveUredi