Seznam pravilnih poliedrov

Trenutno poznamo 48 različnih pravilnih poliedrov, ti se delijo na konveksne in konkavne. V tem seznamu so razporejene glede na odkritelje in sicer po kronološkem zaporedju od nam najdlje poznanih do nazadnje odkritih leta 1997.[1]

KriterijiUredi

Obstaja več različnih definicij za pravilne poliedre, tukaj je uporabljena definicija, ki jo podpira največ ljudi:

  • polieder mora imeti skladne vse stranice, mejne ploskve in oglišča
  • polieder mora biti v 3D evklidskem prostoru
  • nobena stranica, oglišče ali mejna ploskev ne sme ležati na drugem, lahko pa se sekajo

S tako definicijo dobimo 48 pravilnih poliedrov, navedenih v spodnjem seznamu.

Platonska telesaUredi

Platonska telesa so poliedri, na katere običajno mislimo, ko govorimo o pravilnih poliedrih. Najstarejši zapis platonskih teles sega v 360 pr. n. št., ko jih Platon opiše v svojem dialogu Timaeus.

Ime Slika Osnovna ploskev Schläfliev simbol Št. stranic Št. oglišč Št. mejnih ploskev Dual Petrial
tetraeder    

trikotnik

{3, 3} 6 4 4 tetraeder petrialni tetraeder
heksaeder (kocka)    

kvadrat

{4, 3} 12 8 6 oktaeder petrialni heksaeder
oktaeder    

trikotnik

{3, 4} 12 6 8 heksaeder petrialni oktaeder
dodekaeder    

petkotnik

{5, 3} 30 20 12 ikozaeder petrialni dodekaeder
ikozaeder    

trikotnik

{3, 5} 30 12 20 dodekaeder petrialni ikozaeder

Keplerjeva telesaUredi

Keplerjevi telesi sta dva nekonveksna pravilna poliedra, ki imata za osnovno ploskev petagram. Odkril ju je Johannes Kepler okoli leta 1619.

Ime Slika Osnovna ploskev Schläfliev simbol Št. stranic Št. oglišč Št. mejnih ploskev Dual Petrial
mali stelirani dodekaeder    

pentagram

{5/2, 5} 30 12 12 veliki dodekaeder petrialni mali stelirani dodekaeder
veliki stelirani dodekaeder    

pentagram

{5/2, 3} 30 20 12 veliki ikozaeder petrialni veliki stelirani dodekaeder

Poinsotova telesaUredi

Poinsotovi telesi je odkril Louis Poinsot leta 1806, ko je iskal duale keplerjevih teles.

Ime Slika Osnovna ploskev Schläfliev simbol Št. stranic Št. oglišč Št. mejnih ploskev Dual Petrial
veliki ikozaeder    

trikotnik

{3, 5/2} 30 12 20 mali stelirani dodekaeder petrialni veliki ikozaeder
veliki dodekaeder    

petkotnik

{5, 5/2} 30 12 12 veliki stelirani dodekaeder petrialni veliki dodekaeder

Evklidsko tlakovanjeUredi

Evklidsko tlakovanje je tlakovanje ravnine z enakimi pravilnimi mnogokotniki. Ravnino lahko prekrijejo le kvadratno, šestkotno in trikotno tlakovanje. Ker se tlakovanja nadaljujejo v neskončnost, je število stranic, oglišč in mejnih ploskev neskončno.

Ime Slika Osnovna ploskev Schläfliev simbol Dual Petrial
trikotno tlakovanje    

trikotnik

{3, 6} šestkotno tlakovanje petrialno trikotno tlakovanje
kvadratno tlakovanje    

kvadrat

{4, 4} kvadratno tlakovanje petrialno kvadratno tlakovanje
šestkotno tlakovanje    

šestkotnik

{6, 3} trikotno tlakovanje petrialno šestkotno tlakovanje

Petrie-coxeterjeva telesaUredi

John Flinders Petrie je leta 1926 generaliziral definicijo pravilnih poliedrov, preko katere je Harold Scott MacDonald Coxeter odkril še tri nove neskončne pravilne poliedre.

Ime Slika Osnovna ploskev Osnovna luknja Schläfliev simbol Dual Petrial
mukocka    

kvadrat

 

kvadrat

{4, 6|4} muoktaeder petrialna mukocka
muoktaeder    

šestkotnik

 

kvadrat

{6, 4|4} mukocka petrialna mukocka
mutetraeder    

šestkotnik

 

trikotnik

{6, 6|3} mutetraeder petrialni mutetraeder

PetrialiUredi

Petriali so telesa, ki izgledajo enako, kot njihovi petrialni pari, ampak imajo za osnovno ploskev izkrivljen mnogokotnik. Tako je John Flinders Petrie odkril 15 novih pravilnih poliedrov.

Ime Slika Osnovna ploskev Schläfliev simbol Št. stranic Št. oglišč Št. mejnih ploskev Petrial
petrialni tetraeder    

izkrivljen kvadrat

{4, 3}3 6 4 3 tetraeder
petrialni heksaeder    

izkrivljen šestkotnik

{6, 3}4 12 8 4 heksaeder
petrialni oktaeder    

izkrivljen šestkotnik

{6, 4}3 12 6 4 oktaeder
petrialni dodekaeder    

izkrivljen desetkotnik

{10, 3} 30 20 6 dodekaeder
petrialni ikozaeder    

izkrivljen desetkotnik

{10, 5} 30 12 6 ikozaeder
petrialni mali stelirani dodekaeder    

izkrivljen šestkotnik

{6, 5} 30 12 10 mali stelirani dodekaeder
petrialni veliki dodekaeder    

izkrivljen šestkotnik

{6, 5/2} 30 12 10 veliki dodekaeder
petrialni veliki stelirani dodekaeder    

izkrivljen dekagram

{10/3, 3} 30 20 6 veliki stelirani dodekaeder
petrialni veliki ikozaeder    

izkrivljen dekagram

{10/3, 5/2} 20 30 6 veliki ikozaeder
petrialno trikotno tlakovanje   šestdesetstopinjski cikcak {∞, 6}3 trikotno tlakovanje
petrialno kvadratno tlakovanje   devetdesetstopinjski cikcak {∞, 4}4 kvadratno tlakovanje
petrialno šestkotno tlakovanje   stodvajsetstopinjski cikcak {∞, 3}6 šestkotno tlakovanje
petrialna mukocka devetdesetstopinjski izkrivljeni cikcak {∞, 6}4,4 mukocka
petrialni muoktaeder stodvajsetstopinjski izkrivljeni cikcak {∞, 4}6,4 muoktaeder
petrialni mutetraeder stodavjsetstopinjski izkrivljeni cikcak {∞, 6}6,3 mutetraeder

Mešani apeiroedri (blended apeiroehedra)Uredi

“Mešani” apeiroedri so izpeljani iz pravilnih planarnih apeiroedrov (trikotno, kvadratno in šestkotno tlakovanje ter njihovi petriali). Pravilnih imen apeiroedrov v slovenščini še nimamo, zato so imena na tem seznamu le dobesedni prevod angleških.

“Mešani“ apeiroedri pomeni, da apeiroedri niso planarni, temveč so izkrivljeni v tretjo dimenzijo. To lahko naredimo na dva načina. Lahko periodično dvigujemo in nižamo oglišča (“mešanje s segmentom”), lahko pa celoten apeiroeder spiralno širimo v tretji dimenziji (“mešanje z apeirogonom”). Tako dobimo 12 različnih “mešanih” apeiroedrov.[1]

Mešani apeiroedri s procesom mešanja s segmentom (blended apeirohedra – blends with segments)Uredi

Ime Osnovna ploskev Schläfliev simbol Petrial
trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom  

trikotnik?

{3, 6} # {} pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom
kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom izkrivljen kvadrat {4,4} # {} pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom
šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom izkrivljen šestkotnik {6, 3} # {} pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom
pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom različni izkrivljeni

cikcaki

{∞, 6}3 # {} trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom
pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom {∞, 4}4 # {} kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom
pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom {∞, 3}6 # {} šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom

Mešani apeiroedri s procesom mešanja z apeiroedromUredi

Ime Osnovna ploskev Schläfliev simbol Petrial
trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom izkrivljen kvadrat {3, 6} # {∞} pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom
kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom izkrivljen šestkotnik {4,4} # {∞} pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom
šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom izkrivljen desetkotnik {6, 3} # {∞} pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom
pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom šestdesetstopinjski ukrivljeni cikcak {∞, 6}3 # {∞} trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom
pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom devetdesetstopinjski ukrivljeni cikcak {∞, 4}4 # {∞} kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom
pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom stodvajsetstopinjski ukrivljeni cikcak {∞, 3}6 # {∞} šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom

Čisti Grünbaum-Dress poliedriUredi

To je šest najbolj kompleksnih in najtežje razumljivih pravilnih poliedrov. Vsi so neskončnih razsežnosti, pridobljeni pa so posredno ali neposredno iz petrie-coxeterjevih teles. Odkriti so bili leta 1997.[1]

Ime Osnovna ploskev Schläfliev simbol Petrial
razpolovljena mukocka izkrivljen šestkotnik {6, 6}4 petrialna razpolovljena mukocka
petrialna razpolovljena mukocka izkrivljen kvadrat {4, 6}6 razpolovljena mukocka
dual petrialne razpolovljene kocke izkrivljen šestkotnik {6, 4}6 /
trihelično kvadratno tlakovanje cikcak {∞, 3} tetrahelično trikotno tlakovanje
tetrahelično trikotno tlakovanje cikcak {∞, 3} trihelično kvadratno tlakovanje
izkrivljeni muoktaeder cikcak {∞, 4}·,∗3 /

ViriUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 McMullen, P.; Schulte, E. (1997-06-01). "Regular Polytopes in Ordinary Space". Discrete & Computational Geometry (angleščina). Vol. 17 no. 4. str. 449–478. doi:10.1007/PL00009304. ISSN 1432-0444.