Kepler-Poinsotov polieder

Kepler-Poinsotov polieder (tudi Kepler-Poinsotovo telo) je v geometriji katerikoli od štirih pravilnih steliranih poliedrov. Dobimo jih z steliranjem pravilnih konveksnih dodekaedrov in ikozaedrov. Od teh se razlikujejo v tem, da imajo pentagramske stranske ploskve ali slike oglišč.

Kepler-Poinsot solids sl.svg

Štirje Kepler-Poinsotovi poliedri so prikazani na zgornji sliki. Vsakega izmed njih lahko identificiramo s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q} in njegovim imenom.

ZnačilnostiUredi

Eulerjeva karakteristikaUredi

Kepler-Poinsotovi poliedri prekrivajo sfero več kot enkrat, tako da središča stranskih ploskev delujejo kot navite točke v sliki, ki imajo petkotne stranske ploskve in oglišča v drugih. Zaradi tega niso nujno topološko enakovredne sferi kot so platonska telesa. Odnos:

 

vedno ne velja. Po Schläfliju velja, da morajo imeti vsi poliedri χ = 2. On je tudi zavračal zamisel o tem, da sta mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder prava poliedra, kar pa nikoli ni bilo splošno priznano.

Popravljeno obliko Eulerjeve karakteristike z uporabo gostote D pripadajočih slik oglišč dv in stranskih ploskev df je podal angleški matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Izraz velja za konveksne poliedre (kjer so faktorji popravkov vsi enaki 1) in za Kepler-Poinsotove poliedre:

 

DualnostUredi

Kepler-Poinsotovi poliedri nastopajo v dualnih parih.

PregledUredi

ime slika sferno
tlakovanje
diagram
stelacije
Schläflijev
{p,q} in
Coxeter-Dinkinov diagram
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
slika oglišč
χ gostota simetrija dualni
mali stelirani dodekaeder       {5/2,5}
       
12
{5/2}
 
30 12
{5}
 
-6 3 Ih veliki dodekaeder
veliki dodekaeder       {5,5/2}
       
12
{5}
 
30 12
{5/2}
 
-6 3 Ih mali stelirani dodekaeder
veliki stelirani dodekaeder       {5/2,3}
       
12
{5/2}
 
30 20
{3}
 
2 7 Ih veliki ikozaeder
veliki ikozaeder       {3,5/2}
       
20
{3}
 
30 12
{5/2}
 
2 7 Ih veliki stelirani dodekaeder

Odnosi med pravilnimi poliedriUredi

Naslednji imajo iste ureditve oglišča: Naslednji imajo isto
razvrstitev oglišč in razvrstitev robov:
    
ikozaeder, mali stelirani dodekaeder, veliki ikozaeder in veliki dodekaeder.
  
mali stelirani dodekaeder in veliki ikozaeder.
  
dodekeder in veliki stelirani dodekaeder.
  
ikozaeder in veliki dodekaeder.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Kepler-Poinsot Solid". MathWorld (angleščina).
  • Modeli Kepler-Poinsotovih teles (angleško)
  • Uniformni poliedri (angleško)
  • Kepler-Poinsotovi poliedri (angleško)
  • Modeli Kepler-Poinsotovih poliedrov (angleško)
  • Stella software za kreiranje slik (angleško)