Skladno število

vrsta števil v matematiki

Skládno števílo (ali kongruéntno števílo) je v matematiki pozitivno celo število, ki predstavlja ploščino pravokotnega trikotnika, katerega dolžine stranic so racionalna števila.[1] Splošnejša definicija dovoljuje vsa pozitivna racionalna števila s to značilnostjo.[2]

Pravokotni trikotnik s ploščino enako 6, ki je drugo najmanjše skladno število.

Prvi členi zaporedja (celoštevilskih) skladnih števil so (zaporedje A003273 v OEIS):

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ...
Razpredelnica skladnih števil
Razpredelnica skladnih števil
—: neskladno število
C: skladno število, deljivo brez kvadrata
S: skladno število s kvadratnim faktorjem
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C
9 10 11 12 13 14 15 16
C C C
17 18 19 20 21 22 23 24
S C C C S
25 26 27 28 29 30 31 32
S C C C
33 34 35 36 37 38 39 40
C C C C
41 42 43 44 45 46 47 48
C S C C
49 50 51 52 53 54 55 56
S C S C S
57 58 59 60 61 62 63 64
S C C S
65 66 67 68 69 70 71 72
C C C C
73 74 75 76 77 78 79 80
C C C S
81 82 83 84 85 86 87 88
S C C C S
89 90 91 92 93 94 95 96
S C C C S
97 98 99 100 101 102 103 104
C C C
105 106 107 108 109 110 111 112
C C C S
113 114 115 116 117 118 119 120
S S C C S

Število 5 je na primer skladno, ker je enako ploščini pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic 20/3, 3/2 in 41/6. Podobno je število 6 skladno, ker je enako ploščini pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic 3, 4 in 5. Števila 1, 2, 3 in 4 niso skladna števila.

Če je skladno število, je skladno število tudi za poljubno naravno število – kadar se vsaka stranica trikotnika pomnoži s in obratno. To vodi do opažanja, da je skladnost neničelnega racionalnega števila odvisna le od njegovega ostanka v grupi:

Vsak razred ostankov v tej grupi vsebuje točno eno celo število, deljivo brez kvadrata, zato se pri obravnavi skladnih števil običajno upoštevajo le pozitivna cela števila, deljiva brez kvadrata.

Problem skladnega številaUredi

Vprašanje določevanja ali je dano racionalno število skladno število se imenuje problem skladnega števila. Problem še ni rešen. Tunnellov izrek iz leta 1983 zagotavlja kriterij, ki se ga da enostavno testirati, za določevanje ali je dano število skladno, vendar se njegov rezultat opira na še vedno nedokazano Birch-Swinnerton-Dyerjevo domnevo.

Problem skladnega števila je prvi navedel Al Karadži v delu Knjiga o algebri in almukabali (Al Fahri fi'l-džabr va'l-mukabala), napisanem okoli leta 1010. Njegova različica problema ne obravnava pravokotnih trikotnikov ampak je definirana s pomočjo kvadratnih števil ali kvadratov racionalnih števil.[3] Za katera cela števila   obstaja takšen kvadrat  , da sta kvadrata tudi   in  ? Na Al Karadžijevo delo so vplivali prevodi Diofantovih del, ki so obravnavali podobne probleme.

Fermatov izrek o pravokotnem trikotniku, imenovan po Pierreu de Fermatu, iz leta 1659 pravi, da nobeno kvadratno število ne more biti skladno. Izrek v obliki, da je vsak kongruum (razlika med zaporednimi elementi v aritmetičnem zaporedju treh kvadratov) nekvadrat, je bil znan (brez dokaza) že Leonardu Fibonacciju leta 1225.[4] Vsak kongruum je skladno število in vsako skladno število je produkt kongruuma in kvadrata racionalnega števila.[5] Določevanje ali je dano število kongruum je veliko lažje od določevanja ali je skladno, ker obstaja parametrizirana formula za kongrue, kjer je treba testirati le končno mnogo parametrov.[6]

RešitveUredi

Število   je skladno, če in samo če imata enačbi:

 
 

rešitve. Če jih imata, jih imata neskončno mnogo, podobno kot Pellova enačba).[navedi vir]

Če so dane rešitve  , se lahko določijo takšni  , da velja:

  in  

iz:

 ,  ,  

Povezava z eliptičnimi krivuljamiUredi

Vprašanje ali je dano število skladno se izkaže za enakovredno pogoju, da ima določena eliptična krivulja pozitivni rang.[2] Drug pristop zamisli je prikazan spodaj (in se lahko najde v uvodu Tunnellovega članka).

Naj so  ,   in   števila (ne nujno pozitivna ali racionalna), za katera veljata naslednji dve enačbi:

 

Naj je:

 

in:

 

Račun pokaže, da velja:

 

in   ni enak 0 (če je  , je  , in zato  , vendar je izraz   neničelen, kar je protislovje).

In obratno, če sta   in   števili, za kateri velja zgornja enačba, in   ni enak 0, naj je  ,   in  . Račun pokaže, da za ta tri števila veljata zgornji enačbi za  ,   in  .

Ti dve zvezi med   in   sta med seboj inverzni, tako da med poljubno rešitvijo teh dveh enačb obstaja enolična zveza v  ,   in  , ter poljubno rešitvijo enačbe v   in   pri neničelnem  . V formulah obeh zvez za racionalni   se še posebej vidi, da so  ,   in   racionalni, če sta racionalna odgovarjajoča   in  , in obratno. (Velja tudi, da so  ,   in   vsi pozitivni, če in samo če sta pozitivna oba   in  . Iz enačbe   se vidi, da, če sta   in   pozitivna, mora biti pozitiven člen  , da je zgornja formula za   pozitivna.)

Tako je pozitivno racionalno število   skladno, če in samo če ima enačba   racionalno točko z neničelnim  . Lahko se pokaže (kot uporaba Dirichletovega izreka o praštevilih v aritmetičnem zaporedju), da so edine torzijske točke na tej eliptični krivulji tiste z   enakim 0, tako da je obstoj racionalne točke z neničelnim   enakovreden izjavi, da ima eliptična krivulja pozitiven rang.

Drug pristop je s celoštevilsko vrednostjo  , označeno kot  , in z rešitvijo enačbe:

 

kjer je:

 

Najmanjše rešitveUredi

Sledi seznam racionalnih rešitev enačb   in   s skladnim številom   in najmanjšim števcem za  . (Tu velja  , saj   ne more biti enak  . Če bi bilo tako, bi bilo  ,   pa ni racionalno število, zato   in   ne moreta oba biti racionalni števili).[navedi vir]

       
5      
6 3 4 5
7      
13      
14      
15 4    
20 3    
21   12  
22      
23      
24 6 8 10
28      
29      
30 5 12 13
31      
34   24  
37      
38      
39      
41      
45   20  
46      
47      
52      
53      
54 9 12 15
55      
56   21  
60 8 15 17
61      
... ... ... ...
101      
... ... ... ...
157      

Trenutni napredekUredi

Za klasifikacijo skladnih števil se je naredilo veliko dela.

Znano je na primer,[7] da za praštevilo   velja naslednje:

  • če je  , potem   ni skladno število,   pa je.
  • če je  , potem je   skladno število.
  • če je  , potem sta   in   skladni števili.

Znano je tudi,[8] da v vsakem kongruenčnem razredu   za dani   obstaja neskončno mnogo skladnih števil, deljivih brez kvadrata, s   prafaktorji.

SkliciUredi

  1. Weisstein, Eric Wolfgang. "Congruent Number". MathWorld (angleščina).
  2. 2,0 2,1 Koblitz (1993), str. 3.
  3. Bradshaw idr. (2009), str. 1.
  4. Ore (2012), str. 202–203.
  5. Conrad (2008).
  6. Darling (2004), str. 77.
  7. Monsky (1990).
  8. Tian (2014).

ViriUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi