Trikotno tlakovanje

Trikotno tlakovanje
Tiling Regular 3-6 Triangular.svg
Vrsta pravilno tlakovanje
Konfiguracija oglišča 3.3.3.3.3.3 (ali 36)
Schläflijevi simboli {3,6}
3[3]
Wythoffovi simboli 6|3 2 3
3|3 3
|3 3 3
Coxeter-Dinkinovi diagrami CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Simetrija p6m, [6,3], *632
p3m1, [3[3]], *333
p3, [3[3]]+, 333
Vrtilna simetrija p6m, [6,3]+, 632,
p3, 3[3]+, 333
Dual šestkotno tlakovanje
Lastnosti ogliščna tranzitivnost, robovna tranzitivnost, tranzitivne stranske ploskve
3.3.3.3.3.3 (ali 36)

Trikotno tlakovanje je eno izmed treh pravilnih tlakovanj na evklidski ravnini.

Uniformno barvanjeUredi

Znanih je devet različnih uniformnih barvanj. Če imenujemo barve s števili na šestih trikotnikih okoli oglišča, dobimo 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314. Štiri barvanja lahko generiramo s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Sedem od devetih različnih barvanj lahko dobimo kot zmanjšanje barvanja s štirimi barvami: 121314. Ostali dve 111222 in 112122 pa nimata Wythoffove konstrukcije.

Indeks
barvanja
111111 121212 121314 121213
Barvanje        
Simetrija *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3]
333
(p3)
[3[3]]+
3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoffov simbol 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Coxeter-Dinkin           =                
Indeks
barvanja
111222 112122 111112 111212 111213
Barvanje          
Simetrija 2*22
(cmm)
[∞,2+,∞]
2222
(p2)
[∞,2,∞]+
*333
(p3m1)
[3[3]]
*333
(p3m1)
[3[3]]
333
(p3)
[3[3]]+

Mreža A2 in pakiranje krogovUredi

Razvrstitev oglišč trikotnega tlakovanja se imenuje mreža A2 [1]. Je dvorazsežni primer simplektičnega satovja. Mrežo A2* trikotnega tlakovanja, ki jo včasih imenujemo tudi A2 mreža.

Mrežo A2* (včasih jo imenujemo tudi A23) lahko konstruiramo iz unije treh mrež A2 in ekvivalenta mreži A2.

Oglišča trikotnega tlakovanja so središča najgostejše oblike pakiranja krožnic. Vsaka krožnica se dotika šestih drugih krožnic v pakiranju (glej dotikalno število. Gostota pakiranja je   ali 90,69%. Ker pa je unija treh A2 mrež tudi mreža A2, je možno podati pakiranje krožnic s tremi barvami.

Voronojeva celica trikotnega tlakovanja je šestkotnik. Prav tako pa tudi Voronojeva teselacija. Šestkotno tlakovanje ima neposredno zvezo s pakiranjem krožnic.

A2 mreža pakiranja krožnic A2* mreža pakiranja krožnic
   ]
šestkotna tlakovanja
   

Sorodni poliedri in tlakovanjaUredi

Ravninska tlakovanja so povezana s poliedri. Kadar postavimo manj trikotnikov na oglišča dobimo praznimo in to nam omogoča, da jih lahko zvijemo v piramide. Ta telesa lahko razširimo na platonska telesa: pet, štirje in trije trikotniki na oglišču definirajo po vrsti ikozaeder, oktaeder in tetraeder.

Tlakovanje je topološko podobno zaporedju pravilnih poliedrov s Schläflijevim simbolom {3,n}. To se nadaljuje še v hiperbolični prostor

 
{3,3}
 
{3,4}
 
{3,5}
 
{3,6}
 
{3,7}
 
{3,8}
 
{3,9}

Je pa tudi topološko povezan kot zaporedje Catalanovimi telesi z konfiguracijo stranskih ploskev Vn.6.6, ki se prav tako nadaljuje v hiperbolično ravnino.

 
V3.6.6
 
V4.6.6
 
V5.6.6
 
V6.6.6
 
V7.6.6

Wythoffova konstrukcija iz šestkotnih in trikotnih tlakovanjUredi

Podobno kot obstoja osem uniformnih poliedrov obstoja tudi osem uniformnih tlakovanj, ki imajo osnovo v pravilnem šestkotnem tlakovanju ali dualnem trikotnem tlakovanju.

Kadar narišemo ploščice tlakovanja obarvane rdeče na prvotnih stranskih ploskvah in rumeno na prvotnih ogliščih ter modro na prvotnih robovih, dobimo osem oblik. Samo sedem od njih pa je topološko različnih. Tako je prisekano trikotno tlakovanje topološko enakovredno šestkotnemu tlakovanju.

Wythoff 3 | 6 2 2 3 | 6 2 | 6 3 2 6 | 3 6 | 3 2 6 3 | 2 6 3 2 | | 6 3 2
Schläfli {6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h0{6,3} h1,2{6,3}
Coxeter-Dinkin                                                            
Slika
Slika oglišč
 
6.6.6
 
3.12.12
 
3.6.3.6
 
6.6.6
 
{36}
 
3.4.6.4
 
4.6.12
 
3.3.3.3.6
 
(3.3)3
 
3.3.3.3.3.3
Wythoff 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
Coxeter-Dinkin                                
Slika
Slika oglišč
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
6.6.6
 
3.3.3.3.3.3

Opombe in skliciUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi