Uniformni polieder

Uniformni polieder je polieder, ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike, ki so prehodni na svojih ogliščih (to pomeni, da obstaja togi premik (izometrija) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega). To pomeni tudi, da so vsa oglišča skladna. Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije.

Uniformni poliedri so lahko:

  • pravilni, če so stranske ploskve in robovi prehodni
  • kvazipravilni, če so robovi prehodni, niso pa prehodne stranske ploskve
  • polpravilni pa so, če robovi niso prehodni, niti stranske ploskve niso prehodne.

Poznamo konveksne:

in zvezdne poliedre od katerih so:

Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike.

Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo prehodne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi, da so izoedrski. Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri. Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen. Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo, da so Catalanova telesa.

RazvojUredi

Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji. Proučevali so jih že Platon (427 pr. n. št–437 pr. n. št., Teetet (417 pr. n. št.–369 pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.).

Pravilni zvezdni poliedri:

Pozneje (v letu 1809) je Louis Poinsot (1777–1859) odkril še dva.

Ostalih 53 nepravilnih zvezdnih poliedrov

  • Od ostalih 53 jih je v letu 1881 Albert Badoureau odkril še 36, Edmund Hess (1843–1903) je odkril še dva in Pitch (1930–1932) jih je neodvisno v letu 1881 odkril še 18, vendar odkritja ni objavil, od teh jih je bilo 15 že prej odkritih.
  • Geometer H.S.M. Coxeter (1907–2003) je odkril še preostalih dvanajst v sodelovanju z J. C. P. Millerjem (1930–1932), kar pa ni bilo objavljeno. M. S. in H. C. Lonquet-Higgins sta jih neodvisno odkrila še 11.
  • Coxeter, Lonquet-Higgins in Miller so v letu 1954 objavili seznam uniformnih poliedrov
  • Sopov je dokazal. Da je njihov seznam popoln.
  • Leta 1970 je v knjigi Polyhedron models (Modeli poliedrov), ki prikazuje vseh 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov, od katerih jih mnogo prej še ni bilo objavljenih. Imena pa jim je dal Norman Johnson (rojen 1930).
  • Skilling (1921–1998) [1] je v letu 1975 preveril to trditev in pokazal, da takrat, ko se sprosti definicijo toliko, da se omogoči tudi hkratnost robov in se s tem dobi še eno možnost za telo.
  • V letu 1993 je Zvi Har'El pripravil popolno kalejdoskopsko konstrukcijo za uniformne poliedre in njihove duale s pomočjo računalniškega programa, ki se je imenoval Kaleido. Vse je združil v dokumentu Uniform Solution for Uniform Polyhedra, kjer je oštevilčil oblike s številkami od 1 do 80.
  • Prav tako je v letu 1993 R. Mäder prenesel to Kaleido rešitev v program Mathematica z drugačnim načinom številčenja.
  • V letu 2002 je Peter W. Messer odkril najmanjšo množico zaprtih oblik izrazov, ki določajo glavne in metrične količine za vsak uniformni polieder, dane s samo Wythoffovim simbolom [2].

Uniformni zvezdni poliedriUredi

57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik se dobi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov

Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukcijiUredi

Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije.

Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej.

Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve, ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo. Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra. Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra. Oktaeder je rektificirani tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in se jih različno obarva.

Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi. Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti. Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre, ki pa so degenerirani poliedri.

Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih. Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (p q r), kjer je p>1, q>1, r>1 in 1/p+1/q+1/r<1.

Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije, ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic.

Razen vseh prizem z diedrsko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda, ki pa postaneta izrojena kot poliedra. To sta dieder in hozoeder. Prvi ima samo dve stranski ploskvi, drugo pa samo dve oglišči. Prisekanje hozoedra nam da prizmo.

V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake (indekse) od 1 do 18 za neprizmatične oblike, ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko. Ponovljene oblike so v oklepajih.

Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami:

  1. hozoedri H2... samo kot sferno tlakovanje
  2. diedri D2... samo kot sferno tlakovanje
  3. prizme P2...
  4. antiprizme A3...

Skupna preglednicaUredi

Johnsonovo ime Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
(kantiprisekano

)

Prirezano
Razširjen
Schläflijev simbol
               
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Wythoffov simbol
p-q-2
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Coxeter-Dinkinov diagram                                                
Slika oglišča pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
tetraedrska
3-3-2
 
{3,3}
 
(3.6.6)
 
(3.3.3.3)
 
(3.6.6)
 
{3,3}
 
(3.4.3.4)
 
(4.6.6)
 
(3.3.3.3.3)
oktaedrska
4-3-2
 
{4,3}
 
(3.8.8)
 
(3.4.3.4)
 
(4.6.6)
 
{3,4}
 
(3.4.4.4)
 
(4.6.8)
 
(3.3.3.3.4)
ikozaedrska
5-3-2
 
{5,3}
 
(3.10.10)
 
(3.5.3.5)
 
(5.6.6)
 
{3,5}
 
(3.4.5.4)
 
(4.6.10)
 
(3.3.3.3.5)

in primeri diedrskih simetrij:

(p 2 2) Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
(kantiprisekano)
Prirezano
Razširjen
Schläflijev simbol
               
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} s{p,2}
Wythoffov simbol 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Coxeter-Dinkinov diagram                                                
Slika oglišča p2 (2.2p.2p) (p. 2.p. 2) (p. 4.4) 2p (p. 4.2.4) (4.2p.4) (3.3.p. 3.2)
diedrska
(2 2 2)
 
{2,2}
2.4.4  
2.2.2.2

4.4.2
 
{2,2}
2.4.2.4  
4.4.4
 
3.3.3.2
diedrska
(3 2 2)
 
{3,2}
 
2.6.6
2.3.2.3  
4.4.3
 
{2,3}
2.4.3.4  
4.4.6
 
3.3.3.3
diedrska
(4 2 2)
{4,2} 2.8.8 2.4.2.4  
4.4.4
 
{2,4}
2.4.4.4  
4.4.8
 
3.3.3.4
diedrska
(5 2 2)
{5,2} 2.10.10 2.5.2.5  
4.4.5
{2,5} 2.4.5.4  
4.4.10
 
3.3.3.5
diedrska
(6 2 2)
 
{6,2}
 
2.12.12
 
2.6.2.6
 
4.4.6
 
{2,6}
 
2.4.6.4
 
4.4.12
 
3.3.3.6

Operatorji za Wythoffovo konstrukcijoUredi

   
Zgledi za oblike od kocke do oktaedra
Operacija Razširjeni
Schläflijevi simboli
Coxeter-
Dinkinov
diagram
Opis
Starševsko telo t0{p,q}         za poljubni pravilni polieder ali tlakovanje
Rektifikacija t1{p,q}         Robovi so popolnima prirezani v točke. Poliedri imajo kombinirane stranske ploskve svojega starševskega telesa in njegovega duala.
Birektifikacija
tudi dual
t2{p,q}         Birektificiranost (tudi za dual) je nadaljevanje prisekanja tako, da so prvotne stranske ploskve zmanjšane do točk. Nove stranske ploskve nastanejo pod vsakim starševskim ogliščem. Število robov ostane nespremenjeno in se zavrti za 90º. Dualno telo pravilnega poliedra {p, q} je tudi pravilni polieder {q, p}.
Prisekanost t0,1{p,q}         Vsako prvotno oglišče je odrezano, z nastankom nove stranske ploskve se izpopolni praznina. Prisekanje ima prostostno stopnjo, ki ima rešitev za kreiranje uniformnega prisekanega poliedra. Polieder ima svoje prvotne stranske ploskve podvojene ter vsebuje stranske ploskve duala.
 
Biprisekanost t1,2{p,q}         isto kot prisekani dual.
Kanteliranost
(ali rombiranost)
(tudi razširjenost)
t0,2{p,q}         Razen prisekanja oglišč je vsak prvotni rob nagnjen zaradi novega pravokotne stranske ploskve, ki se pojavi namesto njega. Uniformna kantelacija je približno na polovici med starševsko in dualno obliko.
 
Omniprisekanost
(ali kantiprisekanost)
t0,1,2{p,q}         Prisekanost in kantelacija sta uporabljeni skupaj, da bi ustvarili omniprisekano obliko, ki podvoji stranice stranskih ploskev starševskega telesa in podvoji stranice stranskih ploskev ter kvadratov, kjer so bili prvotni robovi.
Prirezanost s{p,q}         Prirezane oblike zavzamejo omniprisekanost in pri tem rektificirajo vsako drugo oglišče. (ta operacije je možna samo, če ima polieder parno število stranskih ploskev) Vse prvotne stranske ploskve končajo tako, da dobimo samo polovico stranic, kvadrati pa se izrodijo v robove. Ker ima omniprisekana oblika 3 stranske ploskve/oglišče nastanejo novi trikotniki. Pogosto je to izmenično facetiranje popačeno, tako, da se konča kot uniformni poliedri. Možnost kasnejših sprememb je odvisna od stopnje prostosti.
 

(3 3 2) Td tetraedrska simetrijaUredi

Tetraedrska simetrija sfere generira 5 uniformnih poliedrov in šesto obliko s pomočjo operacije prirezovanja.

Tetraedrsko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali, ki jih prikažemo s simbolom (3 3 2). Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [3,3] in seveda s Coxeter-Dinkinovim diagramom:      .

Obstaja 24 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

    
# Ime Graf
A3
Graf
A2
Slika Tlakovanje Oglišč
slika
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
   
[3]
(4)
položaj 1
   
[2]
(6)
položaj 0
    
[3]
(4)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
1 tetraeder (tet)                
{3,3}
 
{3}
4 6 4
[1] birektificiran tetraeder (tet)
(isto kot tetraeder)
               
t2{3,3}
 
{3}
4 6 4
2 rektificiran tetraeder (oct)
(isto kot oktaeder)
               
t1{3,3}
 
{3}
 
{3}
8 12 6
3 prisekani tetraeder (tut)                
t0,1{3,3}
 
{6}
 
{3}
8 18 12
[3] biprisekani tetraeder (tut)
(isto kot prisekani tetraeder)
               
t1,2{3,3}
 
{3}
 
{6}
8 18 12
4 kanteliran tetraeder (co)
(isto kot kubooktaeder)
               
t0,2{3,3}
 
{3}
 
{4}
 
{3}
14 24 12
5 omniprisekani tetraeder (toe)
(isto kot prisekani oktaeder)
               
t0,1,2{3,3}
 
{6}
 
{4}
 
{6}
14 36 24
6 prirezana kocka (ike)
(isto kot ikozaeder)
               
s{3,3}
 
{3}
  
2 {3}
 
{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh oktaedrska simetrijaUredi

Oktaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še tri z alternacijo. Štirje od teh oblik so ponovitve tetraedrske simetrije iz preglednice zgoraj.

Oktaedrsko simetrijo se lahko prikaže s pomočjo osnovnega trikotnika (4 3 2) tako, da se upošteva zrcala na vsakem oglišču. Lahko se jih prikaže tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [4,3] in kot Coxeter-Dinkinov diagram:      .

Obstaja 48 trokotnikv, ki se jih vidi na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi:

    
# Ime Graf
B3
Graf
B2
Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[4]
(8)
položaj 1
    
[2]
(12)
položaj 0
    
[3]
(6)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
7 kocka (kocka)                
{4,3}
 
{4}
6 12 8
[2] oktaeder (oct)                
{3,4}
 
{3}
8 12 6
[4] rektificirana kocka (co)
rektificiran oktaeder
(kubooktaeder)
               
{4,3}
 
{4}
 
{3}
14 24 12
8 prisekana kocka (tic)                
t0,1{4,3}
 
{8}
 
{3}
14 36 24
[5] prisekani oktaeder (toe)                
t0,1{3,4}
 
{4}
 
{6}
14 36 24
9 kantelirana kocka (sirco)
kanteliran oktaeder
rombikubooktaeder
               
t0,2{4,3}
 
{8}
 
{4}
 
{6}
26 48 24
10 omniprisekana kocka (girco)
omniprisekani oktaeder
prisekani kubooktaeder
               
t0,1,2{4,3}
 
{8}
 
{4}
 
{6}
26 72 48
[6] alternirani prisekani oktaeder (ike)
(isto kot ikozaeder)
               
h0,1{3,4}
 
{3}
 
{3}
20 30 12
[1] alternirana kocka (tet)
(isto kot tetraeder)
               
h{4,3}
 
1/2 {3}
4 6 4
11 prirezana kocka (snic)                
s{4,3}
 
{4}
  
2 {3}
 
{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih ikozaedrska simetrijaUredi

Ikozaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še enega več z alternacijo. Samo eden se ponavlja v preglednici s tetraedrsko in oktaedrsko simetrijo v preglednici zgoraj.

Ikozaedrsko simetrijo lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (5 3 2), pri tem pa štejemo zrcala na vsakem oglišču. Lahko ga prikažemo tudi s pomočjo Coxeterjeve grupe G2 ali [5,3] s pomočjo Coxeter-Dinkinovega diagrama:      .

Obstaja 120 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisni triakontaeder in na izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

    
# Ime Graf
(A2)
[6]
Graf
(H3)
[10]
Slika tlakovanje slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[5]
(12)
položaj 1
   
[2]
(30)
položaj 0
    
[3]
(20)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
12 dodekaeder (doe)                
{5,3}
 
{5}
12 30 20
[6] ikozaeder (ike)                
{3,5}
 
{3}
20 30 12
13 rektificirani dodekaeder (id)
rektificirani ikozaeder
ikozidodekaeder
               
t1{5,3}
 
{5}
 
{3}
32 60 30
14 prisekani dodekaeder (tid)                
t0,1{5,3}
 
{10}
 
{3}
32 90 60
15 prisekani ikozaeder (ti)                
t0,1{3,5}
 
{5}
 
{6}
32 90 60
16 kantelirani dodekaeder (srid)
kanteliran ikozaeder
rombiikozidodekaeder
               
t0,2{5,3}
 
{5}
 
{4}
 
{3}
62 120 60
17 Omniprisekani dodekaeder (grid)
Omniprisekani ikozaeder
prisekani ikozidodekaeder
               
t0,1,2{5,3}
 
{10}
 
{4}
 
{6}
62 180 120
18 prirezani dodekaeder (snid)
prirezani ikozaeder
               
s{5,3}
 
{5}
  
2 {3}
 
{3}
92 150 60

(p 2 2) Prizmatična družina [p,2], I2(p) (Dph diedrska simetrija)Uredi

Diedrska simetrija sfere generira dve neskončni množici uniformnih poliedrov, prizem in antiprizem, prav tako pa tudi neskončno množico izrojenih mnogokotnikov, hozoedrov in diedrov, ki obstajajo kot tlakovanja sfere. Diedrska simetrija se lahko prikaže kot onovni trikotnik (p 2 2) s tem, da upoštevamo zrcala na vsakem oglišču. Lahko se prikaže tudi kot Coxeterjeva grupa I2(p) or [n,2], in tudi kot prizmatični Coxeter-Dinkinov diagram:      .

Spodaj je prvih pet diedrskih simetrij: D2 ... D6. Diedrska simetrija Dp ima red 4n, ki se kaže na stranskih ploskvah bipiramide in na sferi kot ekvatorska črta na longitudi in n enakomerno razmaknjenih črt longitude.

(2 2 2) diedrska simetrijaUredi

Obstaja 8 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah kvadratne bipiramide (oktaeder), ki ima imenoma obarvane trikotnike na sferi:

   
# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[2]
(2)
položaj 1
   
[2]
(2)
položaj 0
    
[2]
(2)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D2
H2
digonalni dieder
digonalni hozoeder
       
{2,2}
 
{2}
2 2 2
D4 prisekani digonalni dieder
(isto kot kvadratni dieder)
     
t{2,2}={4,2}
 
{4}
2 4 4
P4
[7]
omniprisekani digonalni dieder (kocka)
(isto kot kocka)
         
t0,1,2{2,2}
 
{4}
 
{4}
 
{4}
6 12 8
A2
[1]
prirezani digonalni dieder (tet)
(isto kot tetraeder)
         
s{2,2}
  
2 {3}
  4 6 4

(3 2 2) D3hdiedrska simetrijaUredi

   

Obstaja 12 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah šeststrane bipiramide ter izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[3]
(2)
položaj 1
   
[2]
(3)
položaj 0
    
[2]
(3)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D3 trigonalni dieder        
{3,2}
 
{3}
2 3 3
H3 trigonalni hozoeder        
{2,3}
 
{2}
3 3 2
D6 prisekani trigonalni dieder
(isto kot heksagonalni dieder)
       
t{3,2}
 
{6}
2 6 6
P3 prisekani trigonalni hozoeder (trip)
(tristrana prizma)
         
t{2,3}
 
{3}
 
{4}
5 9 6
P6 omniprisekani trigonalni dieder (hip)
(šeststrana prizma)
         
t{2,3}
 
{6}
 
{4}
 
{4}
8 18 12
A3
[2]
prirezani trigonalni dieder (oct)
(isto kot tristrana antiprizma)
(isto kot oktaeder)
         
s{2,3}
 
{3}
  
2 {3}
  8 12 6

(4 2 2) D4hdiedrska simetrijaUredi

  Obstaja 16 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah osemstrane bipiramide ter izmenoma pobarvani trikotniki na sferi:

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položajih Število elementov
položaj 2
    
[4]
(2)
položaj 1
   
[2]
(4)
položaj 0
    
[2]
(4)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D4 kvadratni dieder      
{4,2}
 
{4}
2 4 4
H4 kvadratni hozoeder      
{2,4}
 
{2}
4 4 2
D8 prisekani kvadratni dieder
(isto kot oktagonalni dieder)
     
t{4,2}
 
{8}
2 8 8
P4
[7]
prisekani kvadratni hozoeder (kocka)
(kocka)
         
t{2,4}
 
{4}
 
{4}
6 12 8
D8 Omniprisekani kvadratni dieder (op)
(osemstrana prizma)
         
t{2,4}
 
{8}
 
{4}
 
{4}
10 24 16
A4 prirezani kvadratni dieder (squap)
(kvadratna antiprizma)
         
t{2,4}
 
{4}
  
2 {3}
  10 16 8

(5 2 2) D5h diedrska simetrijaUredi

Obstaja 20 osnovnih trikotnikov, ki so vidni na stranskih ploskvah desetstrane bipiramide ter izmenoma obarvani trikotniki na sferi:

 
# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih plokev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[5]
(2)
položaj 1
   
[2]
(5)
položaj 0
    
[2]
(5)
Stranske ploskve Robovo Oglišča
D5 petstrani dieder      
{5,2}
 
{5}
2 5 5
H5 petstrani hozoeder      
{2,5}
 
{2}
5 5 2
D10 prisekani petstrani dieder
(isto kot dvanajststrani dieder)
     
t{5,2}
 
{10}
2 10 10
P5 prisekani petstrani hozoeder (pip)
(isto kot petstrana prizma)
         
t{2,5}
 
{5}
 
{4}
7 15 10
P10 Omniprisekani petstrani dieder (dip)
(dekagonalna prizma)
         
t{2,5}
 
{10}
 
{4}
 
{4}
12 30 20
A5 prirezani petkotni dieder (pap)
(petstrana antiprizma)
         
t{2,5}
 
{5}
  
2 {3}
  12 20 10

(6 2 2) D6hdiedrska simetrijaUredi

Obstaja 24 osnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah dvanajststrane bipiramide in na izmenoma pobarvanimi trikotniki na sferi.

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
    
[6]
(2)
položaj 1
   
[2]
(6)
položaj 0
    
[2]
(6)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D6 šeststrani dieder        
{6,2}
 
{6}
2 6 6
H6 šeststrani hozoeder        
{2,6}
 
{2}
6 6 2
D12 prisekani šeststrani dieder
(isto kot dodekagonalni dieder)
       
t{6,2}
 
{12}
2 12 12
H6 prisekani šestrani hozoeder (hip)
(isto kot šeststrana prizma)
           
t{2,6}
 
{6}
 
{4}
8 18 12
P12 Omnipriseksn šeststrani dieder (twip)
(dvanajststrana prizma)
           
t{2,6}
 
{12}
 
{4}
 
{4}
14 36 24
A6 prirezani šeststrani dieder (hap)
(šeststrana antiprizma)
           
t{2,6}
 
{6}
  
2 {3}
  14 24 12

SkliciUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi