Realna projektivna ravnina

Temeljni mnogokotnik Projektivne ravnine.

Möbiusov trak, ki ima samo en rob, lahko zapremo v projektivno ravnino tako, da zlepimo nasprotna odprta robova.

Kleinova steklenica je Möbiusov trak zaprt v valj.

Realna projektivna ravnina (oznaka $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\,$) je v matematiki kompaktna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost, ki je ne moremo vložiti v običajni trirazsežni prostor brez tega, da bi sekala samo sebe. Ima Eulerjevo karakteristiko enako 1. Ni omejena in ni orientabilna, nima robov oziroma mej, kot ploskev je resnična dvorazsežna mnogoterost. V nasprotju z Möbiusovim trakom realna projektivna ravnina nima robov. Realne projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor brez sekanja samega sebe.

Zgledi

Projektivna ravnina ne more biti vložena v trirazsežni evklidski prostor.

Projektivna sfera

Obravnavajmo sfero, na njej pa naj bodo veliki krogi kot »premice« in pari nasprotnih točk (antipodov) pa naj bodo »točke«. Takšen sistem dobro opisuje projektivno ravnino z značilnostmi

• katerikoli par velikih krogov se sreča na paru nasprotnih točk
• katerikoli par različnih nasprotnih točk leži na enem velikem krogu.

Če izenačimo vsako točko na sferi z njeno nasprotno točko, dobimo obliko, ki je realna projektivna ravnina, na kateri so točke projektivne ravnine resnično točke.

Boyjeva ploskev

Projektivna ravnina se lahko potopi (izvede se imerzija), kar pomeni, da lokalna okolica ne vsebuje sekanja samega sebe. Zgled imerzije je Boyjeva ploskev.

Glej tudi

• projektivna ravnina
• projektivni prostor
• Pujeva neenakost

Zunanje povezave

• Realna projektivna ravnina na MathWorld (angleško)
• Lastnosti realne projektivne ravnine (angleško)