Šestkotno tlakovanje

Šestkotno tlakovanje je pravilno tlakovanje evklidske ravnine, kjer se po trije šestkotniki srečajo v vsakem oglišču. Tlakovanje ima Schläflijev simbol {6,3} ali t{3,6}.

Šestkotno tlakovanje

Vrsta	pravilno tlakovanje
konfiguracija oglišč	6.6.6 (ali 6³)
Schläflijevi simboli	{6,3} t_0,1{3,6}
Wythoffovi simboli	3\|6 2 2 6 \|3 3 3 3\|
Coxeter-Dinkinovi diagrami
Simetrija	p6m, [6,3], ^*632
Vrtilna simetrija	p6, [6,3]⁺, 632
Dualno tlakovanje	trikotno tlakovanje
Značilnosti	tranzitivnost oglišč, robovna tranzitivnost, tranzitivne stranske ploskve
666 (ali 6³)

Notranji kot šestkotnika je enak 120º in tako trije šestkotniki tvorijo skupaj 360º. Tlakovanje je eno izmed treh pravilnih tlakovanj ravnine. Ostali dve sta še trikotno tlakovanje in kvadratno tlakovanje.

Uporaba uredi

Šestkotno tlakovanje je najgostejši način za razmeščanje krožnic v dveh razsežnostih. Izrek za satovje pravi, da je šestkotno tlakovanje najboljši način za delitev površine na področja z najmanjšimi skupnimi obsegi.

Šestkotno tlakovanje se pojavlja v mnogih kristalih. V treh razsežnostih sta ploskovno centriran sistem in šestkotno gosto pakiranje običajna kristalna sistema. Sta tudi najgostejše znano pakiranje krogel v treh razsežnostih. Strukturno vsebuje vzporedne plasti šestkotnega tlakovanja, kar je podobno strukturi grafita.

Najgostejše pakiranje krožnic izgleda kot šestkotniki
Ograja
Grafen
Ogljikove nanocevke izgledajo kot šestkotno tlakovanje na površini valja

Šestkotno tlakovanje se pojavlja v mnogih kristalih. V treh razsežnostih sta to ploskovno centriran kubični sistem in šestkotno gosto pakiranje, ki sta najbolj pogosti kristalni strukturi. Sta najgostejši pakiranji v treh razsežnostih in sta verjetno optimalni. Vsebujeta vzporedne plasti šestkotnega tlakovanja, ki je podobno strukturi grafita. Od njega se razlikuje samo v razdaljah plasti med seboj. Ploskovno centriran kubični sistem spada med bolj pravilne. Tako baker med ostalimi tvori ploskovno centrirano kubično mrežo.

Uniformno barvanje uredi

Obstojajo tri različna uniformna barvanja šestkotnega tlakovanja. Vsa lahko generiramo s pomočjo zrcalne simetrije Wythoffove konstrukcije. Oznaka (h,k) pomeni periodično ponavljanje samo ene pobarvane ploščice, kjer štejemo šestkotno razdaljo h kot prvo in k kot drugo

k-uniformno	1-uniformno			2-uniformno		3-uniformno
Slika
Barve	1	2	3	2	4	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläflijev simbol	{6,3}	t{3,6}	t_0,1,2{3^[3]}
Wythoffov simbol	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
Simetrija	*632 (p6m) [6,3]		*333 (p3) [3^[3]]	*632 (p6m) [6,3]		632 (p6) [6,3]⁺
Coxeter-Dinkinov diagram
Conwayjeva notacija poliedrov	H	tH	teH	t6daH	t6dateH

Barvanje tlakovanja s tremi barvami je vrsta teselacije, ki jo generirajo permutaedri reda 3.

Topološko identična tlakovanja uredi

Opeke kot nepravilno šestkotno tlakovanje

Šestkotno tlakovanje lahko prilagodimo tudi drugim geometrijskim razmerjem in različnim simetrijam.

Običajni zid iz opek se lahko obravnava kot šestkotno tlakovanje. Vsaka opeka ima oglišče, ki je vključeno med dve oglišči, ki ju deli na dva vzporedna roba.

Lahko bi ga razbili tudi na kiralna valujočega vzorca s tremi smermi, ki razbijejo nekatere šestkotnike v paralelograme. Valujoči vzorec s štirimi obarvanimi stranskimi ploskvami ima vrtilno simetrijo 632 (p6) simetrijo. Herringbonov vzorec je tudi popačeno šestkotno tlakovanje.

Šestkotno tlakovanje v štirih barvah
Pravilni šestkotniki	Šestkotno tkanje
p6m (*632)	p6 (632)


Zidni vzorec	Herringbononov vzorec
p4g (4*2)
\|

Sorodni poliedri in tlakovanja uredi

Ta vrsta tlakovanja je topološko sorodna s pravilnimi poliedri, ki imajo sliko oglišč n³ kot del, ki se nadaljuje v hiperbolično ravnino.

(3³)	(4³)	(5³)	(6³) tlakovanje	(7³) tiling

So povezane z uniformnimi prisekanimi poliedri s sliko oglišč n.6.6.

Sferna/Ravninska simetrija	*332 [3,3] T_d	*432 [4,3] O_h	*532 [5,3] I_h	*632 [6,3] P6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]
Red simetrije	24	48	120	∞
Coxeter Schläfli	t_0,1{3,3}	t_0,1{3,4}	t_0,1{3,5}	t_0,1{3,6}	t_0,1{3,7}	t_0,1{3,8}
Prisekane oblike	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6
n-kisne oblike	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

To tlakovanje je del zaporedja prisekanih rombskih poliedrov s simetrijo [n,3] Coxeterjeve grupe. Na kocko lahko gledamo kot na rombski heksaeder , ki ima rombe kot kvadrate. Prisekane oblike imajo pravilne n-kotnike na prisekanih ogliščih in nepravilne šestkotne stranske ploskve. Zaporedje ima dve sliki oglišč (n.6.6) in (6,6,6).

Poliedri			evklidsko tlakovanje	hiperbolično tlakovanje
[3,3]	[4,3]	[5,3]	[6,3]	[7,3]	[8,3]
kocka	rombski dodekaeder	rombski triakontaeder	rombil
alternirana prisekana kocka	prisekani rombski dodekaeder	prisekani rombski triakontaeder	šestkotno tlakovanje

Šeststrano tlakovanje lahko smatramo kot podaljšano rombsko tlakovanje, kjer se vsako oglišče rombskega tlakovanja nadaljuje v nov rob. To je podobno kot pri rombskem dodekaedru in rombo šestkotni teselaciji v treh razsežnostih.

Rombsko tlakovanje	šestkotno tlakovanje	Uporaba v ograji

Wythoffove konstrukcije iz šestkotnih in trikotnih tlakovanj uredi

Podobno kot je osem uniformnih poliedrov je tudi osem uniformnih tlakovanj, ki so osnovane na pravilnem šestkotnem tlakovanju ali njegovem dualnem tlakovanju trikotnem tlakovanju.

Če narišemo ploščice tlakovanja pobarvane rdeče na njihovih prvotnih stranskih ploskvah, rumeno na njihovih prvotnih ogliščih in modro na njihovih prvotnih robovih, dobimo osem oblik. Od njih je samo sedem topološko različnih. Prisekano trikotno tlakovanje je pri tem identično s šestkotnim tlakovanjem.

sferna/ravninska simetrija	*332 [3,3] T_d	*432 [4,3] O_h	*532 [5,3] I_h	*632 [6,3] P6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]
Red simetrije	24	48	120	∞
Coxeter Schläfli	t_0,1{3,3}	t_0,1{3,4}	t_0,1{3,5}	t_0,1{3,6}	t_0,1{3,7}	t_0,1{3,8}
Prisekane oblike	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6
n-kisne oblike	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

Wythoff	3 \| 6 2	2 3 \| 6	2 \| 6 3	2 6 \| 3	6 \| 3 2	6 3 \| 2	6 3 2 \|	\| 6 3 2
Schläfli	{6,3}	t_0,1{6,3}	t₁{6,3}	t_1,2{6,3}	t₂{6,3}	t_0,2{6,3}	t_0,1,2{6,3}	s{6,3}	h₀{6,3}	h_1,2{6,3}
Coxeter-Dinkin
Slika konfiguracija oglišč	6.6.6	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3⁶}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	(3.3)³	3.3.3.3.3.3