Šestkotno tlakovanje

Šestkotno tlakovanje
Tiling Regular 6-3 Hexagonal.svg
Vrsta pravilno tlakovanje
konfiguracija oglišč 6.6.6 (ali 63)
Schläflijevi simboli {6,3}
t0,1{3,6}
Wythoffovi simboli 3|6 2
2 6 |3
3 3 3|
Coxeter-Dinkinovi diagrami CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
Simetrija p6m, [6,3], *632
Vrtilna simetrija p6, [6,3]+, 632
Dualno tlakovanje trikotno tlakovanje
Značilnosti tranzitivnost oglišč, robovna tranzitivnost, tranzitivne stranske ploskve
666 (ali 63)

Šestkotno tlakovanje je pravilno tlakovanje evklidske ravnine, kjer se po trije šestkotniki srečajo v vsakem oglišču. Tlakovanje ima Schläflijev simbol {6,3} ali t{3,6}.

Notranji kot šestkotnika je enak 120º in tako trije šestkotniki tvorijo skupaj 360º. Tlakovanje je eno izmed treh pravilnih tlakovanj ravnine. Ostali dve sta še trikotno tlakovanje in kvadratno tlakovanje.

UporabaUredi

Šestkotno tlakovanje je najgostejši način za razmeščanje krožnic v dveh razsežnostih. Izrek za satovje pravi, da je šestkotno tlakovanje najboljši način za delitev površine na področja z najmanjšimi skupnimi obsegi.

Šestkotno tlakovanje se pojavlja v mnogih kristalih. V treh razsežnostih sta ploskovno centriran sistem in šestkotno gosto pakiranje običajna kristalna sistema. Sta tudi najgostejše znano pakiranje krogel v treh razsežnostih. Strukturno vsebuje vzporedne plasti šestkotnega tlakovanja, kar je podobno strukturi grafita.

Šestkotno tlakovanje se pojavlja v mnogih kristalih. V treh razsežnostih sta to ploskovno centriran kubični sistem in šestkotno gosto pakiranje, ki sta najbolj pogosti kristalni strukturi. Sta najgostejši pakiranji v treh razsežnostih in sta verjetno optimalni. Vsebujeta vzporedne plasti šestkotnega tlakovanja, ki je podobno strukturi grafita. Od njega se razlikuje samo v razdaljah plasti med seboj. Ploskovno centriran kubični sistem spada med bolj pravilne. Tako baker med ostalimi tvori ploskovno centrirano kubično mrežo.

Uniformno barvanjeUredi

Obstojajo tri različna uniformna barvanja šestkotnega tlakovanja. Vsa lahko generiramo s pomočjo zrcalne simetrije Wythoffove konstrukcije. Oznaka (h,k) pomeni periodično ponavljanje samo ene pobarvane ploščice, kjer štejemo šestkotno razdaljo h kot prvo in k kot drugo

k-uniformno 1-uniformno 2-uniformno 3-uniformno
Slika              
Barve 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
Schläflijev simbol {6,3} t{3,6} t0,1,2{3[3]}
Wythoffov simbol 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Simetrija *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3)
[3[3]]
*632
(p6m)
[6,3]
632
(p6)
[6,3]+
Coxeter-Dinkinov diagram                
Conwayjeva notacija poliedrov H tH teH t6daH t6dateH

Barvanje tlakovanja s tremi barvami je vrsta teselacije, ki jo generirajo permutaedri reda 3.


Topološko identična tlakovanjaUredi

 
Opeke kot nepravilno šestkotno tlakovanje

Šestkotno tlakovanje lahko prilagodimo tudi drugim geometrijskim razmerjem in različnim simetrijam.

Običajni zid iz opek se lahko obravnava kot šestkotno tlakovanje. Vsaka opeka ima oglišče, ki je vključeno med dve oglišči, ki ju deli na dva vzporedna roba.

Lahko bi ga razbili tudi na kiralna valujočega vzorca s tremi smermi, ki razbijejo nekatere šestkotnike v paralelograme. Valujoči vzorec s štirimi obarvanimi stranskimi ploskvami ima vrtilno simetrijo 632 (p6) simetrijo. Herringbonov vzorec je tudi popačeno šestkotno tlakovanje.

Šestkotno tlakovanje v štirih barvah
Pravilni šestkotniki Šestkotno tkanje
p6m (*632) p6 (632)
   
 
Zidni vzorec Herringbononov vzorec
p4g (4*2)
 |  


Sorodni poliedri in tlakovanjaUredi

Ta vrsta tlakovanja je topološko sorodna s pravilnimi poliedri, ki imajo sliko oglišč n3 kot del, ki se nadaljuje v hiperbolično ravnino.

 
(33)
 
(43)
 
(53)
 
(63) tlakovanje
 
(73) tiling

So povezane z uniformnimi prisekanimi poliedri s sliko oglišč n.6.6.

Sferna/Ravninska
simetrija
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]
Red
simetrije
24 48 120
Coxeter
Schläfli
     
t0,1{3,3}
     
t0,1{3,4}
     
t0,1{3,5}
     
t0,1{3,6}
     
t0,1{3,7}
     
t0,1{3,8}
Prisekane
oblike
 
3.6.6
 
4.6.6
 
5.6.6
 
6.6.6
 
7.6.6
 
8.6.6
n-kisne
oblike
 
V3.6.6
 
V4.6.6
 
V5.6.6
 
V6.6.6
 
V7.6.6

To tlakovanje je del zaporedja prisekanih rombskih poliedrov s simetrijo [n,3] Coxeterjeve grupe. Na kocko lahko gledamo kot na rombski heksaeder , ki ima rombe kot kvadrate. Prisekane oblike imajo pravilne n-kotnike na prisekanih ogliščih in nepravilne šestkotne stranske ploskve. Zaporedje ima dve sliki oglišč (n.6.6) in (6,6,6).

Poliedri evklidsko tlakovanje hiperbolično tlakovanje
[3,3] [4,3] [5,3] [6,3] [7,3] [8,3]
 
kocka
 
rombski dodekaeder
 
rombski triakontaeder
 
rombil
   
 
alternirana prisekana kocka
 
prisekani rombski dodekaeder
 
prisekani rombski triakontaeder
 
šestkotno tlakovanje

Šeststrano tlakovanje lahko smatramo kot podaljšano rombsko tlakovanje, kjer se vsako oglišče rombskega tlakovanja nadaljuje v nov rob. To je podobno kot pri rombskem dodekaedru in rombo šestkotni teselaciji v treh razsežnostih.

 
Rombsko tlakovanje
 
šestkotno tlakovanje
 
Uporaba v ograji

Wythoffove konstrukcije iz šestkotnih in trikotnih tlakovanjUredi

Podobno kot je osem uniformnih poliedrov je tudi osem uniformnih tlakovanj, ki so osnovane na pravilnem šestkotnem tlakovanju ali njegovem dualnem tlakovanju trikotnem tlakovanju.

Če narišemo ploščice tlakovanja pobarvane rdeče na njihovih prvotnih stranskih ploskvah, rumeno na njihovih prvotnih ogliščih in modro na njihovih prvotnih robovih, dobimo osem oblik. Od njih je samo sedem topološko različnih. Prisekano trikotno tlakovanje je pri tem identično s šestkotnim tlakovanjem.

sferna/ravninska
simetrija
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]
Red
simetrije
24 48 120
Coxeter
Schläfli
     
t0,1{3,3}
     
t0,1{3,4}
     
t0,1{3,5}
     
t0,1{3,6}
     
t0,1{3,7}
     
t0,1{3,8}
Prisekane
oblike
 
3.6.6
 
4.6.6
 
5.6.6
 
6.6.6
 
7.6.6
 
8.6.6
n-kisne
oblike
 
V3.6.6
 
V4.6.6
 
V5.6.6
 
V6.6.6
 
V7.6.6
Wythoff 3 | 6 2 2 3 | 6 2 | 6 3 2 6 | 3 6 | 3 2 6 3 | 2 6 3 2 | | 6 3 2
Schläfli {6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h0{6,3} h1,2{6,3}
Coxeter-Dinkin                                                            
Slika
konfiguracija oglišč
 
6.6.6
 
3.12.12
 
3.6.3.6
 
6.6.6
 
{36}
 
3.4.6.4
 
4.6.12
 
3.3.3.3.6
 
(3.3)3
 
3.3.3.3.3.3

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi