Seznam pravilnih politopov

seznam Wikimedije

Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v evklidskih, sfernih in hiperboličnih prostorih.

Osnovni pregled pravilnih politopovUredi

V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti.

razsežnost konveksni nekonveksni konveksne
evklidske
teselacije
konveksne
hiperbolične
teselacije
nekonveksne
hiperbolične
teselacije
abstraktni
politopi
1 1 daljica 0 0 0 0 1
2 mnogokotnikov zvezdni mnogokotniki 1 1 0
3 5 platonskih teles 4 Kepler-Poinsotovi poliedri 3 tlakovanja
4 6 konveksnih polihoronov 10 Schläfli-Hessovih polihoronov 1 satovje 4 0
5 3 konveksni 5-politopi 0 nekonveksnih 5-politopov 3 teselacije 5 4
6+ 3 0 1 0 0

TeselacijeUredi

Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.

Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je treba na to, da se z n-razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Zgled: trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.

Pravilni politopi v eni razsežnostiUredi

V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom {}

Pravilni politopi v dveh razsežnostihUredi

Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.

Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostihUredi

Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.

ime enakostranični trikotnik
(2-simpleks)
kvadrat
(2-ortopleks)
(hiperkocka)
petkotnik šestkotnik sedemkotnik osemkotnik
Schläfli {3} {4} {5} {6} {7} {8}
Coxeter-
Dinkin
                       
slika            
ime devetkotnik desetkotnik enajstkotnik dvanajstkotnik trinajstkotnik štirinajstkotnik
Schläfli {9} {10} {11} {12} {13} {14}
Dinkin                        
slika            
ime petnajstkotnik šestnajstkotnik sedemnajstkotnik osemnajstkotnik devetnajstkotnik dvajsetkotnik ...p-kotnik
Schläfli {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
Dinkin                            
slika            

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v dveh razsežnostihUredi

Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon.

ime enokotnik dvokotnik
Schläflijev simbol {1} {2}
Coxeterjev diagram    
slika    

Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostihUredi

ime pentagram heptagram oktagram eneagrami dekagram ...n-grami
Schläfli {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
Coxeter                                                
slika                

TeselacijaUredi

Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je    .

 

Pravilni politopi v treh razsežnostihUredi

V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.

Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostihUredi

Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa.

ime Schläfli
{p,q}
Coxeter slika
(prozorna)
slika
(telesna)
slika
(kroglična)
stranske ploskve
{p}
robovi oglišče
{q}
simetrijska grupa dualni politop
tetraeder
(3-simpleks)
(trikotna piramida)
{3,3}             4
{3}
6 4
{3}
Td (sebi)
kocka
(3-kocka)
(heksaeder)
{4,3}             6
{4}
12 8
{3}
Oh oktaeder
oktaeder
(3-ortopleks)
{3,4}             8
{3}
12 6
{4}
Oh kocka
dodekaeder {5,3}             12
{5}
30 20
{3}2
Ih ikozaoeder
ikozaeder {3,5}             20
{3}
30 12
{5}
Ih dodekaeder

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v treh razsežnostihUredi

V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.

ime Schläfli
{p,q}
Coxeterjev
diagram
Slika
(sfera)
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
simetrija dualni politop
hengonalni dieder {1,2}       2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
hengonalni hozoeder
hengonal hosoheder {2,1}       1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
hengonalni dieder
digonalni diheder
Digonalni hosoeder
{2,2}         2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
sebi
trigonalni hozoeder {2,3}         3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
trigonalni dieder
trigonalni dieder {3,2}         2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
trigonalni hozoeder
heksagonalni hozoeder {2,6}         6
{2}
6 2
{6}
D3h
(*622)
heksagonalni dieder

Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostihUredi

Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.

ime slika
(prosojna)
slika
(telesna)
slika
(sferna)
diagram zvezdnega mnogokotnika Schläfli
{p,q} in
Coxeter-Dinkin
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
verf.
χ gostota simetrija dualni politop
majhen zvezdasti dodekaeder         {5/2,5}
       
12
{5/2}
 
30 12
{5}
 
-6 3 Ih veliki dodekaeder
veliki dodekaeder         {5,5/2}
       
12
{5}
 
30 12
{5/2}
 
-6 3 Ih mali zvezdasti dodekaeder
veliki zvezdasti dodekaeder         {5/2,3}
       
12
{5/2}
 
30 20
{3}
 
2 7 Ih veliki ikozaeder
veliki ikozaeder         {3,5/2}
       
20
{3}
 
30 12
{5/2}
 
2 7 Ih veliki zvezdasti dodekaeder

TeselacijeUredi

Evklidsko tlakovanjeUredi

Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.

ime Schläfli {p,q} Coxeterjev
diagram
slika tip stranske
ploskve
{p}
slika oglišč
{q}
simetrija dualno
kvadratno tlakovanje
(kvadril)
{4,4}         {4} {4} *442
(p4m)
(sebi)
trikotno tlakovanje
(deltil)
{3,6}         {3} {6} *632
(p6m)
šestkotno tlakovanje
šestkotno tlakovanje
(hekstil)
{6,3}         {6} {3} *632
(p6m)
trikotno tlakovanje

Evklidsko zvezdno tlakovanjeUredi

Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov

Hiperbolična tlakovanjaUredi

Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja. Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H2. Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, da hiperbolično tlakovanje.

Vzorec:

Sferna (platonska)/Evklidska/hiperbolična (Poincaréjev disk) teselacije s Schläflijevimi simboli
p \ q 3 4 5 6 7 8 9
3  
(tetraeder)
{3,3}
     
 
(oktaeder)
{3,4}
     
 
(ikozaeder)
{3,5}
     
 
(trikotno tlakovanje)
{3,6}
     
 

{3,7}
     
 

{3,8}
     
 

{3,9}
     
4  
(kocka)
{4,3}
     
 
(kvadratno tlakovanje)
{4,4}
     
 

{4,5}
     
 

{4,6}
     
 

{4,7}
     
 

{4,8}
     
{4,9}
     
5  
(dodekaeder)
{5,3}
     
 

{5,4}
     
 

{5,5}
     
 

{5,6}
     
 

{5,7}
     
{5,8}
     
{5,9}
     
6  
(šestkotno tlakovanje)
{6,3}
     
 

{6,4}
     
 

{6,5}
     
 

{6,6}
     
{6,7}
     
{6,8}
     
{6,9}
     
7  

{7,3}
     
 

{7,4}
     
 

{7,5}
     
{7,6}
     
{7,7}
     
{7,8}
     
{7,9}
     
8  

{8,3}
     
 

{8,4}
     
{8,5}
     
{8,6}
     
{8,7}
     
{8,8}
     
{8,9}
     
9  

{9,3}
     
{9,4}
     
{9,5}
     
{9,6}
     
{9,7}
     
{9,8}
     
{9,9}
     

Štirirazsežni pravilni politopiUredi

Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.

  • slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder.
  • slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik.

Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je  , ki pa je enaka 0 za vse oblike.

Konveksni pravilni politopi v štirih razsežnostihUredi

V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.

ime
Schläfli
{p,q,r}
Coxeter
       
celice
{p,q}
stranske ploskve
{p}
robovi
{r}
oglišča
{q,r}
dualni politop
{r,q,p}
5-celica
(4-simpleks)
(pentahoron)
{3,3,3}         5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
(sebi)
8-celica
(4-kocka)
(teserakt)
{4,3,3}         8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
16-celica
16-celica
(4-ortopleks)
{3,3,4}         16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
teserakt
24-celica {3,4,3}         24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
(sebi)
120-celica {5,3,3}         120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
600-celica
600-celica {3,3,5}         600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
120-celica
5-celica 8-celica 16-celica 24-celica 120-celica 600-celica
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
modeli za (Petrijev mnogokotnik) v poševni ortografski projekciji
           
ortografske projekcije teles
 
tetraederska
ovojnica
 
kockina ovojnica
 
kockina
ovojnica
 
kubooktaederska
ovojnica
 
ovojnica prisekanega rombskega
triakontaedra
 
heksakisov popravljeni prirezani oktaeder
modeli prikazani v Schleglovih diagramih (projekcija v perspektivi)
 
(središče celice)
 
(središče celice)
 
(središče celice)
 
(središče celice)
 
(središče celice)
 
(središče celice)
modeli prikazani v stereogafskih projekcijah (3-sfera|hipersferna)
           

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v štirih razsežnostihUredi

Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacija 3 sfere.

Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.

Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostihUredi

Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki se jih lahko imenuje Schläfli-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})

ime
mreža telo Schläflijev simbol
{p, q,r}
Coxeter-Dinkinov diagram
celice
{p, q}
stranske ploskve
{p}
robovi
{r}
oglišča
{q, r}
gostota χ simetrijska grupa dualni
{r, q,p}
ikozaederska 120-celica     {3,5,5/2}
         
120
{3,5}
 
1200
{3}
 
720
{5/2}
 
120
{5,5/2}
 
4 480 H4 mala zvezdna 120-celica
mala zvezdna 120-celica     {5/2,5,3}
         
120
{5/2,5}
 
720
{5/2}
 
1200
{3}
 
120
{5,3}
 
4 −480 H4 ikozaederska 120-celica
velika 120-celica     {5,5/2,5}
         
120
{5,5/2}
 
720
{5}
 
720
{5}
 
120
{5/2,5}
 
6 0 H4 sebi dualni
imenitna 120-celica     {5,3,5/2}
         
120
{5,3}
 
720
{5}
 
720
{5/2}
 
120
{3,5/2}
 
20 0 H4 velika zvezdna 120-celica
velika zvezdna 120-celica     {5/2,3,5}
         
120
{5/2,3}
 
720
{5/2}
 
720
{5}
 
120
{3,5}
 
20 0 H4 imenitna 120-celica
imenitna zvezdna 120-celica     {5/2,5,5/2}
           
120
{5/2,5}
 
720
{5/2}
 
720
{5/2}
 
120
{5,5/2}
 
66 0 H4 sebi dualni
velika imenitna 120-celica     {5,5/2,3}
         
120
{5,5/2}
 
720
{5}
 
1200
{3}
 
120
{5/2,3}
 
76 −480 H4 velika ikozaederska 120-celica
velika ikozaederska 120-celica     {3,5/2,5}
         
120
{3,5/2}
 
1200
{3}
 
720
{5}
 
120
{5/2,5}
 
76 480 H4 velika imenitna 120-celica
imenitna 600-celica     {3,3,5/2}
         
600
{3,3}
 
1200
{3}
 
720
{5/2}
 
120
{3,5/2}
 
191 0 H4 velika imenitna zvezdna 120-celica
velika imenitna zvezdna 120-celica     {5/2,3,3}
         
120
{5/2,3}
 
720
{5/2}
 
1200
{3}
 
600
{3,3}
 
191 0 H4 imenitna 600-celica

Teselacija evklidskega trirazsežnega prostoraUredi

 
Pogled skozi mrežo kockinega satovja{4,3,4}.

Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostoraUredi

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H3.

ime Schläfli
simbol
{p,q,r}
Coxeter
       
celica
type
{p,q}
stranska ploskev
type
{p}
slika
robov
{r}
slika
oglišč

{q,r}
χ dualni
ikozaedrsko satovje {3,5,3}         {3,5} {3} {3} {5,3} 0 sebi dualen
red-5 kockino satovje {4,3,5}         {4,3} {4} {5} {3,5} 0 {5,3,4}
red-4 dodekaedersko satovje {5,3,4}         {5,3} {5} {4} {3,4} 0 {4,3,5}
red-5 dodekaedersko satovje {5,3,5}         {5,3} {5} {5} {3,5} 0 sebi dualno

Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge.

 
{5,3,4}
(8 dodekaedrov pri oglišču)
 
{4,3,5}
(20 kock pri oglišču)
 
{3,5,3}
(12 ikozaedrov a oglišču)

Pravilni politopi v petih in višjih razsežnostihUredi

V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi. V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.

5-politop se imenuje tudi politeron, če pa je neskončen, se imenuje satovje.

slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej.
slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča
slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.

Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostihUredi

V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov. poskus

ime Schläfli
{p1,...,pn−1}
Coxeter k-stranske ploskve tip
facete
slika
oglišč
dualni politop
n-simpleks {3n−1}     ...       {3n−2} {3n−2} sebi dualni
n-kocka {4,3n−2}     ...       {4,3n−3} {3n−2} n-ortopleks
n-ortopleks {3n−2,4}     ...       {3n−2} {3n−3,4} n-kocka

pravilni politopi v 5 razsežnostih

ime Schläfli
Symbol
{p,q,r,s}
Coxeter
facete
{p,q,r}
celice
{p,q}
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča slika
stranskih ploskev
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
5-simpleks {3,3,3,3}
         
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
5-kocka {4,3,3,3}
         
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
5-ortopleks {3,3,3,4}
         
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 10 {4} {3,4} {3,3,4}
 
5-simpleks
 
5-kocka
 
5-ortopleks

pravilni politopi v 6 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev χ
6-simpleks {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
6-kocka {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
6-ortopleks {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0
 
6-simpleks
 
6-kocka
 
6-ortopleks

pravilni politopi v 7 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev χ
7-simpleks {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
7-kocka {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
7-ortopleks {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2
 
7-simpleks
 
7-kocka
 
7-ortopleks

pravilni politopi v 8 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-stranskih ploskev χ
8-simpleks {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
8-kocka {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
8-orthopleks {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0
 
8-simpleks
 
8-kocka
 
8-ortopleks

pravilni politopi v 9 razsežnostih

ime Schläflijev simbol oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-stranskih ploskev 8-stranskih ploskev χ
9-simpleks {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
9-kocka {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
9-ortopleks {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2
 
9-simpleks
 
9-kocka
 
9-ortopleks

pravilni politopi v 10 razsežnostih

ime Schläflijev simbol oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-faces 8-stranskih ploskev 9-stranskih ploskev χ
10-simpleks {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
10-kocka {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
10-ortopleks {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0
 
10-simpleks
 
10-kocka
 
10-ortopleks

Nekonveksni pravilni politopiUredi

V petih ali višjih razsežnostih ne obstajajo nekonveksni pravilni politopi.

Teselacija evklidskega štirirazsežnega prostoraUredi

Znane so tri neskončne pravilne teselacije (satovje), ki zapolnijo štirirazsežni prostor

ime Schläfli
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}
tip
celice
{p,q}
tip
stranske ploskve
{p}
slika
stranske ploskve
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
tesekratno satovje {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} sebi dualni
heksadekahorno satovje {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
ikozitetrahorno satovje {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
 
projicirani del{4,3,3,4}
(teseraktno satovje)
 
projicirani del {3,3,4,3}
(heksadekahorno satovje)
 
projicirani del{3,4,3,3}
(ikozite

trahorno satovje)

Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja, ki lahko zapolni vsako razsežnost (peto ali višjo) z obliko hiperkockinih facet, ki so štiri okrog vsakega grebena.

ime Schläfli
{p1, p2, ..., pn−1}
tip
facete
slika
oglišč
dualna oblika
kvadratno tlakovanje {4,4} {4} {4} sebi dualni
kockino satovje {4,3,4} {4,3} {3,4} sebi dualni
teseraktno satovje {4,32,4} {4,32} {32,4} sebi dualni
penteraktično satovje {4,33,4} {4,33} {33,4} sebi dualni
hekseraktično satovje {4,34,4} {4,34} {34,4} sebi dualni
hepteraktično satovje {4,35,4} {4,35} {35,4} sebi dualni
okteraktično satovje {4,36,4} {4,36} {36,4} sebi dualni
n-hiperkockino satovje {4,3n−2,4} {4,3n−2} {3n−2,4} sebi dualni

Teselacija hiperboličnega štirirazsežnega prostoraUredi

Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H4

Pet konveksnih pravilnih satovij v H4 je:

ime Schläflijev
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}
tip
celice
{p,q}
tip
stranske
ploskve{p}
slika
stranskih
ploskev{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
red-5 5-celično satovje {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}
red-3 120-celično satovje {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}
red-5 teseraktično satovje {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {4} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}
red-4 120-celično satovje {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {4} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}
red-5 600-celično satovje {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} sebi dualni

Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H4:

ime Schläflijev
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}

tip
celice
{p,q}

tip
stranske ploskve
{p}
slika
stranske ploskve
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
red-3 malo zvezdasto 120-celično satovje {5/2,5,3,3} {5/2,5,3} {5/2,5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2}
pentagramski red 600-celično satovje {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3}
red-5 ikozaedersko 120-celično satovje {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2,5} {5,5/2,5} {5,5/2,5,3}
red-3 veliko 120-celično satovje {5,5/2,5,3} {5,5/2,5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5}

V H4 sta znani tudi 2 vrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč {3, 4, 3, 4} in {4, 3, 4, 3}.

ApeirotopiUredi

Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve. Razlika je samo v tem, da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora. Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe.

Dve razsežnostiUredi

Apeirogon je pravilna neskončno dolga premica, razdeljena na enake dele, ki jih povezujejo vozlišča.

Tri razsežnostiUredi

Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev. Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen. Ploščati apeiroeder samo tlakuje (pokrije) ravnino. Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura, ki deli prostor na dve področji.

Znanih je 30 pravilnih apeiroedrov v evklidskem prostoru.[1]:§/E Vključujejo teselacije tipa   in   in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa  ,   in  . V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico.

Glej tudiUredi

SkliciUredi

Zunanje povezaveUredi