Seznam grup sferne simetrije

seznam Wikimedije

Seznam grup sferne simetrije vsebuje grupe sferne simetrije. Te grupe se imenujejo tudi trirazsežna točkovna grupa. Tukaj se obravnavanje omeji samo na končne simetrije.

Znanih je pet osnovnih razredov, ki vsebujejo trikotno osnovno domeno. To so diedrska, ciklična, tetraedrska, oktaedrska in ikozaedrska simetrija.

Grupe so prikazane v skladu z Schönfliesovo notacijo, Coxeterjevo notacijo in notacijo orbifold. Angleški matematik John Horton Conway je uporabil posebno variacijo Schönfliesove notacije.

Dana je tudi Hermann-Mauguinova notacija (mednarodna notacija, tukaj označena z Medn.). Kristalografske grupe, ki jih je 32, so podmnožica z redom elementov enakim 2, 3, 4 ali 6 [1].

Involucijska simetrijaUredi

Znane so štiri involucijske grupe. Te grupe so primeri kjer ni simetrije, zrcalne simetrije, 2-kratna simetrije vrtenja in centralne točkovne simetrije.

Medn. geo
[2]
orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1  
2 2 22 D1
= C2
D2
= C2
[2]+ 2  
Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
1 22 × Ci
= S2
CC2 [2+,2+] 2  
2
= m
1 * Cs
= C1v
= C1h
±C1
= CD2
[ ] 2  

Ciklična simetrijaUredi

Obstojajo štiri družine ciklične simetrije, ki imajo n=2 ali višje. V posebnem primeru je lahko tudi n=1.

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
2 2 22 C2
= D1
C2
= D2
[2]+ 2  
mm2 2 *22 C2v
= D1h
CD4
= DD4
[2] 4  
4 42 S4 CC4 [2+,4+] 4  
2/m 22 2* C2h
= D1d
±C2
= ±D2
[2,2+] 4  
Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
3
4
5
6
n
3
4
5
6
n
33
44
55
66
nn
C3
C4
C5
C6
Cn
C3
C4
C5
C6
Cn
[3]+
[4]+
[5]+
[6]+
[n]+
3
4
5
6
n
 
3m
4mm
5m
6mm
-
3
4
5
6
n
*33
*44
*55
*66
*nn
C3v
C4v
C5v
C6v
Cnv
CD6
CD8
CD10
CD12
CD2n
[3]
[4]
[5]
[6]
[n]
6
8
10
12
2n
 
3
8
5
12
-
62
82
10.2
12.2
2n2




S6
S8
S10
S12
S2n
±C3
CC8
±C5
CC12
CC2n / ±Cn
[2+,6+]
[2+,8+]
[2+,10+]
[2+,12+]
[2+,2n+]
6
8
10
12
2n
 
3/m
4/m
5/m
6/m
n/m
32
42
52
62
n2
3*
4*
5*
6*
n*
C3h
C4h
C5h
C6h
Cnh
CC6
±C4
CC10
±C6
±Cn / CC2n
[2,3+]
[2,4+]
[2,5+]
[2,6+]
[2,n+]
6
8
10
12
2n
 

Diedrska simetrijaUredi

Obstojajo samo tri družine neskončnih diedrskih simetrij.

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
222 2.2 222 D2 D4 [2,2]+ 4  
42m 42 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8  
mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8  
Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
32
422
52
622
3.2
4.2
5.2
6.2
n.2
223
224
225
226
22n
D3
D4
D5
D6
Dn
D6
D8
D10
D12
D2n
[2,3]+
[2,4]+
[2,5]+
[2,6]+
[2,n]+
6
8
10
12
2n
 
3m
82m
5m
12.2m
62
82
10.2
12.2
n2
2*3
2*4
2*5
2*6
2*n
D3d
D4d
D5d
D6d
Dnd
±D6
DD16
±D10
DD24
DD4n / ±D2n
[2+,6]
[2+,8]
[2+,10]
[2+,12]
[2+,2n]
12
16
20
24
4n
 
6m2
4/mmm
10m2
6/mmm
32
42
52
62
n2
*223
*224
*225
*226
*22n
D3h
D4h
D5h
D6h
Dnh
DD12
±D8
DD20
±D12
±D2n / DD4n
[2,3]
[2,4]
[2,5]
[2,6]
[2,n]
12
16
20
24
4n
 

Poliedrska simetrijaUredi

Znani so trije tipi poliedrske simetrije. To so tetraedrska, oktaedrska in ikozaedrska simetrija. Imena so simetrije dobile z uporabo pravilnih poliedrov s takšno vrsto simetrije.

[3,3]
Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
23 3.3 332 T T [3,3]+
= [3+,4,1+]
12  
m3 43 3*2 Th ±T [3+,4]
= [[3,3]+]
24  
43m 33 *332 Td TO [3,3]
= [3,4,1+]
24  
[3,4]
Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
432 4.3 432 O O [3,4]+
= [[3,3]]+
24  
m3m 43 *432 Oh ±O [3,4]
= [[3,3]]
48  
[3,5]
Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna
domena
532 5.3 532 I I [3,5]+ 60  
532/m 53 *532 Ih ±I [3,5] 120  


SkliciUredi

  1. Sands, 1993
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes in J. Holt, Časopis za matematično fiziko. 48, 023514 (2007) (22 strani) PDF [1]

Glej tudiUredi