Petriejev mnogokotnik

Petriejev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petriejev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjeni mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev.[1]

Za vsak pravilni politop obstaja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petriejev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

Petriejevi mnogokotniki so neravninski mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov.[2]

Ravnina, ki se jo obravnava, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic , ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

ZgodovinaUredi

John Flinders Petrie (1907–1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petrieja (1853–1942).

Petriejevi mnogokotniki pravilnih poliedrovUredi

Petriejev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je:

cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).

Pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petriejevem mnogokotniku.

Petriejevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)
 
tetraeder kocka oktaeder dodekaeder ikozaeder
                            
centrirano na stranico centrirano na oglišče centrirano na stransko ploskev centrirano na stransko ploskev centrirano na oglišče
4 stranice 6 stranic 6 stranic 10 stranic 10 stranic
V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)
Petriejevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove.

Koncentrični obroč oglišč se šteje od zunanje strani navznoter z oznako: V:(ab, ...) in se konča z nič, če ni središčnega oglišča.

Petriejevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)Uredi

 
{3,3,3}
       
5-celica
5 stranskih ploskev
V:(5,0)
 
{3,3,4}
       
16-celica
8 stranskih ploskev
V:(8,0)
 
{4,3,3}
       
teserakt
8 stranskih ploskev
V:(8,8,0)
 
{3,4,3}
       
24-celica
12 stranskih ploskev
V:(12,6,6,0)
 
{5,3,3}
       

120-celica
30 stranskih ploskev
V:((30,60)3,603,30,60,0)
 
{3,3,5}
       

600-celica
30 stranskih ploskev
V:(30,30,30,30,0)

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopovUredi

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petriejevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup En, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.


Pregled družin politopov
Coxeterjeva grupa An BCn Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn
2  
trikotnik
  
 
kvadrat
   
   

šestkotnik
   
 

petkotnik
   
3  

tetraeder
     
 

kocka
   
 

oktaeder
    
 

tetraeder
   
   

dodekaeder
    
 

ikozaeder
    
4  

5-celica
    
 
teserakt
      
 

16-celica
     
 
polteserakt
     
 

24-celica
       
 

120-celica
       
 

600-celica
      
5  

5-simpleks
     
 

5-kocka
      
 

5-ortopleks
      
 

5-polkocka
      
   
6  

6-simpleks
      
 

6-kocka
       
 

6-ortopleks
       
 

6-polkocka
       
 

122
       
 

221
       
 
7  

7-simpleks
       
 

7-kocka
        
 

7-ortopleks
        
 

7-polkocka
       
 

132
           
 

231
           
 

321
        
 
8  

8-simpleks
        
 

8-kocka
         
 

8-ortopleks
         
 

8-polkocka
        
 

142
             
 

241
             
 

421
         
 
9  

9-simpleks
         
 

9-kocka
          
 

9-ortopleks
          
 

9-polkocka
           
10   10-simpleks             10-kocka
           
  10-ortopleks
           
  10-polkocka
            
družina
n
n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

SkliciUredi

  1. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Definicija: listina 13, Diskretne grupe generirane z zrcaljenjem, 1933, s. 161)
  2. Podatek na Epinet-u

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Petrie Polygon". MathWorld (angleščina).
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Hypercube Graph". MathWorld (angleščina).
  • Petriejev mnogokotnik na WolframAlpha (angleško)