Alternacija (geometrija)

Alternacija (tudi delna prisekanost in prirezanost ali snubifikacija) je v geometriji postopek, ki se izvaja nad poliedri ali tlakovanji. Ta postopek odstrani vsako drugo oglišče. Alternacijo se lahko torej izvede samo na poliedrih, ki imajo sodo število oglišč. Takšen primer so zonoedri. Vsaka 2n-stranska stranska ploskev postane n stranska. Kvadratne stranske ploskve izginejo v nove robove.

Dve prirezani kocki iz velikega rombikubooktaedra

Glej rdeče in zelene točke, ki se nahajajo na vsakem drugem oglišču. Prirezana kocka nastane z brisanjem množice oglišč v smeri gibanja urinih kazalcev ali v obratni smeri.

Sam postopek alternacije je alterniranje.

Alternacijo pravilnega poliedra ali tlakovanja se včasih označuje s pravilno obliko tako, da se spredaj doda h (iz besede half, ki pomeni polovico). Zgled: oznaka h{4, 3} pomeni alternirano kocko, ki kreira tetraeder. Alternirano kvadratno tlakovanje pa se označi s h{4, 4}.

Snub (snubifikacija, prirezanost)

Snub (prirezanost/potlačenost, snubifikacija) je podobna operacija. To je alternacija uporabljena na omniprisekanem pravilnem poliedru. Omniprisekani pravilni polieder ali tlakovanje ima vedno sodo število stranic in tako se vedno lahko izvede alternacijo.

Zgled je prirezana kocka, ki se jo dobi v dveh korakih. Najprej se izvede omniprisekanost in se dobimo veliki rombikubooktaeder. Nato se polieder z alternacijo pretvori v prirezano kocko.

Naslednji zgled je pravilna antiprizma. Uniformno n-kotno antiprizmo se lahko dobi iz alternirane 2n-kotniške prizme in prirezanega hozoedra z n robovi. V primeru prizem sta obe alternirani obliki enaki.

Alternira se lahko tudi zonoedre. Kot zgled se lahko navede rombski triakontaeder, ki se ga z operacijo snub pretvori v ikozaeder ali dodekaeder, kar je odvisno od izbire odstranjenih oglišč.

Zgledi

Generatorji platonskih teles

Tri oblike: pravilna → omniprisekana → prirezana.

Dani so tudi Coxeter-Dinkinovi diagrami. Omniprisekanost deluje pri vseh zrcalih (obkroženo). Alternacija je prikazana s praznimi obroči.

simetrija (p q 2)	pravilni	omniprisekani	prirezana oblika
tetraedrska (3 3 2)	tetraeder	prisekani oktaeder	ikozaeder (prirezani tetraeder)
oktaedrska (4 3 2)	kocka	prisekani kubooktaeder	prirezana kocka
ikozaedrska (5 3 2)	dodekaeder	prisekani ikozidodekaeder	prirezani dodekaeder

Generatorji pravilnega tlakovanja

simetrija (p q 2)	pravilni	omniprisekani	prirezana oblika
kvadratno (4 4 2)	(4.4.4.4)	(4.8.8)	(3.3.4.3.4)
šestkotno (6 3 2)	(6.6.6)	(3.4.6.4)	3.3.3.3.6

Generatorji uniformnih prizem

Za prizme se lahko uporabi izmenična prirezavanja. (kvadratna antiprizma se lahko imenuje hozoeder, kot tudi alternirana osemstrana prizma.)

Dva koraka: 2n-strana prizma → n-strana antiprizma.

• kvadratna prizma → digonalna antiprizma (ali polkocka)
  • →
• šeststrana prizma → tristrana antiprizma
  • →
• osemstrana prizma → kvadratna antiprizma
  • →
• desetkotna prizma → petstrana antiprizma
  • →
• ....

Izmenična prisekavanja

Podobni postopki prisekajo izmenjujoča se oglišča in ne samo, da jih odstranijo. V nadaljevanju je našteta množica poliedrov, ki se jih lahko generira iz Catalanovih teles. Ta imajo dve vrsti oglišč, ki se jih lahko izmenoma priseka. Prisekavanje oglišč »višjega reda« in obeh tipov oglišč ustvarja naslednje oblike:

ime	izvirno telo	prisekano telo	polna prisekanost	ime prisekanosti
kocka dual rektificiranega tetraedra				alternirano prisekana kocka
rombski dodekaeder dual kubooktaedra				prisekani rombski dodekaeder
rombski triakontaeder dual ikozidodekaedra				prisekani rombski triakontaeder
triakisni tetraeder dual prisekanega tetraedra				prisekani triakisni tetraeder
triakisni oktaeder dual prisekane kocke				prisekani triakisni oktaeder
triakisni ikozaeder dual prisekanega dodekaedra				prisekani triakisni ikozaeder

Višje razsežnosti

Alternacijo se lahko izvede tudi za višjerazsežne politope in satovja. Večina oblik nima splošne rešitve. Praznine, ki pri tem nastanejo, ne kreirajo uniformnih facet. Zgledi:

• satovja
  1. alternirano kubično satovje je tetraedrsko-oktaedrsko satovje.
  2. alternirano heksagonalno prizmatično satovje je zavito alternirano satovje.
• polihoroni
  1. alternirana prisekana 24-celica je prirezana 24-celica.
• hiperkocko se lahko z alternacijo vedno spremeni v uniformno polhiperkocko.
  1. kocka → tetraeder (pravilni)
  2. →
  3. teserakt (8-celica) → 16-celica (pravilna)
  4. →
  5. penterakt → polpenterakt (polpravilni)
  6. hekserakt → polhekserakt (uniformni)
  7. ...

Glej tudi

• Drugi postopki nad uniformnimi politopi:
  • prisekanost (geometrija)
  • rektifikacija (geometrija)
  • omniprisekanost
  • kantelacija (geometrija)
  • runcinacija
• Conwayjeva notacija poliedrov
• Wythoffova konstrukcija
• kiralni politop

Zunanje povezave

• Alternacija v Glossary for Hyperspace (angleško)
• Imena poliedrov (angleško)