Rombiikozidodekaeder

arhimedsko telo

kva dogaja?

Rombiikozidodekaeder}
Rhombicosidodecahedron.jpg
(animacija)
vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
elementi F = 62, E = 120,
V = 60 (χ = 2)
stranske ploskve na stran 20{3} + 30{4} + 12{5}
Conwayjev zapis eD ali aaD
Schläflijevi simboli rr{5,3} ali
t0,2{5,3}
Wythoffov simbol 3 5 | 2
Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
simetrija Ih, H3, [5,3], (*532), red 120
vrtilna grupa I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot 3-4: 159°05′41″ (159,09°)
4-5: 148°16′57″ (148,28°)
sklici U27, C30, W14
značilnosti konveksen
polpravilen
Small rhombicosidodecahedron.png
obarvane stranske ploskve
Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
3.4.5.4
(slika oglišč)
Deltoidalhexecontahedron.jpg
deltoidni heksekontaeder
(dualni polieder)
Rhombicosidodecahedron flat.png
mreža telesa

Rombiikozidodekaeder ali mali rombiikozidodekaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima dvainšestdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega dvajset enakostraničnotrikotniških, trideset kvadratnih in dvanajst petkotniških, ter 120 robov in 60 oglišč.

Ime 'rombiikozidodekaeder' se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih ploskev leži v istih ravninah kot 30 ploskev rombskega triakontaedra (rombitriakontaedra), ki je dual ikozidodekaedra.

Lahko se imenuje tudi razširjeni ali kantelirani dodekaeder ali ikozaeder iz operacij prisekavanja na uniformni polieder.

Geometrijski odnosiUredi

Če se razširi ikozaeder s pravšnjim premikanjem stranskih ploskev stran od izhodišča brez spreminjanja usmerjenosti ali velikost stranskih ploskev, in enako za njegov dual dodekaeder, ter se zapolnijo nastale kvadratne luknje, se dobi rombiikozidodekaeder. Zaradi tega ima enako število trikotnikov kot ikozaeder (20) in enako število petkotnikov kot dodekaeder (12), s kvadratom za vsak rob obeh likov.

Rombiikozidodekaeder ima skupno razvrstitev oglišč z malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom in uniformnimi sestavi šestih ali dvanajstih pentagramskih prizem.

Orodja Zometool za izdelavo geodetskih kupol in drugih poliedrov kot povezave uporablja preluknjane kroglice. Kroglice so »razširjeni« rombiikozidodekaedri, kjer so namesto kvadratov pravokotniki. Razširjanje je izbrano tako, da so nastali pravokotniki zlati.

Dvanajst od 92 Johnsonovih teles je izvedeno iz rombiikozidodekaedra, štiri z zasukom ene ali več petstranih kupol: girorombiikozidodekaeder, paradvojni, metadvojni in trojni girorombiikozidodekaeder. Osem drugih se lahko skonstruira z odstanitvijo do treh kupol, včasih tudi z zasukom ene ali več drugih kupol.

Kartezične koordinateUredi

Kartezične koordinate 60 oglišč rombiikozidodekaedra s središčem v izhodišču z dolžino robu enako 2 so vse sode permutacije:[1]

 
 
 

kjer je:   število zlatega reza.

Površina in prostorninaUredi

Površina P in prostornina V rombiikozidodekaedra z dolžino roba a sta:

 
 

Pravokotne projekcijeUredi

Rombiikozidodekaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in tri vrste stranskih ploskev (enakostranični trikotniki, kvadrati in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A2 in H2.

Pravokotne projekcije
usrediščeno na oglišče rob
3-4
rob
5-4
stransko ploskev
kvadrat
stransko ploskev –
enakostranični trikotnik
stransko ploskev –
petkotnik
slika            
projektivna
simetrija
[2] [2] [2] [2] [6] [10]
deltoidni
heksekontaeder
           

Sferno tlakovanjeUredi

Rombiikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi ploščin ali dolžin. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

   
usrediščeno na petkotnik
 
usrediščeno na enakostranični trikotnik
 
usrediščeno na kvadrat
ortografska projekcija stereografske projekcije

Sorodni poliedri in tlakovanjaUredi

 
Razširjenje tako dodekaedra ali ikozaedra da rombiikozidodekaeder.

Spremembe simetrijeUredi

Ta polieder je topolško povezan z nizom kanteliranih poliedrov s sliko oglišč (3.4.n.4), ki se nadaljuje kot tlakovanje hiperbolične ravnine. Te ogliščno prehodne oblike imajo zrcalno simetrijo (*n32).

Johnsonova telesaUredi

Obstaja 13 sorodnih Johnsonovih teles, 5 z zmanjšanjem in 8, ki vključujejo giracije:

Zmanjšani
J5
 
76
 
80
 
81
 
83
 
Girirani in/ali zmanjšani
72
 
73
 
74
 
75
 
77
 
78
 
79
 
82
 

Razvrstitev ogliščUredi

Rombiikozidodekaeder ima skupno razvrstitev oglišč s tremi nekonveksnimi uniformnimi poliedri: malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom, malim dodeciikozidodekaedrom (skupne so trikotniške in petkotniške stranske ploskve) in malim rombidodekaedrom (skupne so kvadratne stranske ploskve).

Ima tudi skupno razvrstitev oglišč z uniformnimi sestavi šestih ali dvanajstih pentagramskih prizem.

 
rombiikozidodekaeder
 
mali dodeciikozidodekaeder
 
mali rombidodekaeder
 
mali zvezdni prisekani dodekaeder
 
sestav šestih pentagramskih prizem
 
sestav dvanajstih pentagramskih prizem

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Weisstein, Eric Wolfgang. "Icosahedral group". MathWorld (angleščina).

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi