Wythoffova konstrukcija
Wythoffova konstrukcija je način konstruiranja uniformnih poliedrov ali ravninskega tlakovanja. Pogosto se omenja kot Wythoffova kalejdoskopska konstrukcija.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/sl/thumb/b/bd/Wythoffian_construction_diagram_sl.png/420px-Wythoffian_construction_diagram_sl.png)
Imenuje se po nizozemskem matematiku in teoretiku števil Willemu Abrahamu Wythoffu (1865–1939).
Postopek konstrukcije
urediPostopek konstrukcije je osnovan na zamisli tlakovanja sfere s sfernimi trikotniki. V tem primeru zrcala vključujejo sferne trikotnike na površini vsake sfere v tej točki in ponavljajoči se odboji naredijo večkratne slike trikotnika. Če se kote sfernega trikotnika izbere približno, bodo trikotniki tlakovali sfero enkrat ali celo večkrat.
Če se postavi oglišče v primerno točko znotraj sfernega trikotnika, ki vključuje tudi zrcalo, se lahko zagotovi, da odboji te točke tvorijo polieder. V sfernem trikotniku ABC so štiri možnosti za tvorjenje uniformnega poliedra:
- oglišče se postavi v točko A. To tvori polieder z Wythoffovim simbolom a|b c, kjer je a enak π deljenim z velikostjo kota v A. Podobno velja za b in c.
- oglišče se postavi v točko na premici AB tako, da ta deli kot v C. To tvori polieder s Wythoffovim simbolom a b|c.
- oglišče se postavi tako, da je v središču včrtane krožnice trikotnika ABC. To tvori polieder z Wythoffovim simbolom a b c|
- oglišče je v točki, tako da se pri vrtenju okrog kateregakoli oglišča za dvojni kot v tem oglišču, povzroči premik za isto razdaljo za vsak kot. Uporabljena so samo parna števila odbojev izvornega oglišča. Polieder ima Wythoffov simbol |a b c.
Šeststrana prizma se lahko skonstruira s pomočjo družin (6 2 2) in (3 2 2). |
Prisekano kvadratno tlakovanje se konstruira z dvema različnima legama v družini (4 4 2). |
Newithoffove konstrukcije
urediUniformni politopi, ki se jih ne da konstruirati z Wythoffovo zrcalno konstrukcijo, se imenujejo newithoffovi. V splošnem se jih dobi iz Wythoffovih oblik s pomočjo alternacije, ali z vrinjanjem izmeničnih delnih oblik. Obe od teh oblik vsebujeta rotacijsko simetrijo.
Šeststrana antiprizma se lahko konstruira izmenično z dodekagonalnimi prizmami. |
Podaljšano trikotno tlakovanje se konstruira s plastjo kvadratnega in trikotnega tlakovanja. |
Veliki dirombiikozidodekaeder je edini newhithoffov uniformni polieder. |
Glej tudi
urediZunanje povezave
uredi- Wythoffova konstrukcija na Glossary for Hyperspace (angleško)
- Weisstein, Eric Wolfgang. »Wythoff Construction«. MathWorld.
- Wythoffova konstrukcija (angleško)
- Wythoffova konstrukcija (angleško)