Prisekani ikozidodekaeder

arhimedsko telo
Prisekani ikozidodekaeder
Truncatedicosidodecahedron.jpg
(animacija)
vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
elementi F = 62, E = 180,
V = 120 (χ = 2)
stranske ploskve na stran 30{4} + 20{6} + 12{10}
Conwayjev zapis bD ali taD
Schläflijevi simboli tr{5,3} ali
t0,1,2{5,3}
Wythoffov simbol 2 3 5 |
Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
simetrija Ih, H3, [5,3], (*532), red 120
vrtilna grupa I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot 6-10: 142,62°
4-10: 148,28°
4-6: 159,095°
sklici U28, C31, W16
značilnosti konveksen
polpravilen
zonoeder
Great rhombicosidodecahedron.png
obarvane stranske ploskve
Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
4.6.10
(slika oglišč)
Disdyakistriacontahedron.jpg disdiakisni triakontaeder
(dualni polieder)
Truncated icosidodecahedron flat.svg
mreža telesa

Prisekani ikozidodekaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima dvainšestdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega trideset kvadratnih, dvajset šestkotniških in dvanajst desetkotniških, ter 120 robov in 180 oglišč – največ od vseh konveksnih neprizmatičnih uniformnih poliedrov. Ker ima vsaka njegova stranska ploskev točkovno sismetrijo (enakovredno 180° vrtilno simetrijo), je prisekani ikozidodekaeder zonoeder.

Druga imenaUredi

Telo ima naslednja druga imena:

Ime prisekani ikozidodekaeder, ki ga je izvirno imenoval Kepler, je deloma zavajujoč. Če se priseka ikozidodekaeder, ne nastane uniformni polieder. Namesto kvadratov ima takšna prisekanost zlate pravokotnike. Vendar je nastalo telo topološko enakovredno temu in se lahko vedno deformira vse dokler stranske ploskve niso pravilne.

 
Ikozidodekaeder
 
Točno geometrično prisekavanje ikozidodekaedra tvori pravokotniške stranske ploskve in ne kvadratne.

Drugo ime veliki rombiikozidodekaeder (kakor tudi rombiprisekani ikozidodekaeder) se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih stranskih ploskev leži v istih ravninah kot 30 stranskih ploskev romskega triakontaedra, ki je dual ikozidodekaedru. Primerjaj z rombiikozidodekaedrom.

Ena nesrečna stvar je, da obstaja nekonveksni uniformni polieder z enakim imenom. Glej nekonveksni veliki rombiikozidodekaeder.

Kartezične koordinateUredi

Kartezične koordinate za oglišča prisekanega ikozidodekaedra s središčem v izhodišču z dolžino roba enako 2φ − 2 so vse sode permutacije:[4]

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) in
(±φ, ±3, ±2φ),

kjer je:

  število zlatega reza.

Površina in prostorninaUredi

Površina P in prostornina V prisekanega ikozidodekaedra z dolžino roba a sta:

 
 

Če se skonstruira množica vseh 13-ih arhimedskih teles z enakimi dolžinami robov, bi bil prisekani ikozidodekaeder največji.

Pravokotne projekcijeUredi

Prisekani ikozidodekaeder ima sedem posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, tri vrste robov in tri vrste stranskih ploskev (kvadrati, šestkotniki in desetkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A2 in H2.

Pravokotne projekcije
usrediščeno na oglišče rob
4-6
rob
4-10
rob
6-10
stransko ploskev
kvadrat
stransko ploskev –
šestkotnik
stransko ploskev –
desetkotnik
slika              
projektivna
simetrija
[2]+ [2] [2] [2] [2] [6] [10]
disdiakisni
triakontaeder
             

Sferna tlakovanja in Schleglovi diagramiUredi

Prisekani ikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi površine ali dolžine. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

Schleglovi diagrami so podobni s perspektivno projekcijo in ravnimi robovi.

ortografska projekcija stereografske projekcije
       
       
  usrediščeno na desetkotnik usrediščeno na šestkotnik usrediščeno na kvadrat

Geometrijski odnosiUredi

Znotraj ikozaedrske simetrije obstaja neomejeno število geometrijskih različic prisekanega ikozidodekaedra z izogonalnimi stranskimi ploskvami. Prisekani dodekaeder, rombiikozidodekaeder in prisekani ikozaeder so izrojeni mejni primeri.

             
                 

Sorodni poliedri in tlakovanjaUredi

Ta polieder se ima lahko za člana zaporedja uniformnih vzorcev s sliko oglišč (4.6.2p) in Coxeter-Dinkinovim diagramom      . Za p < 6 so člani omniprisekani poliedri (zonoedri), prikazani spodaj kot sferna tlakovanja. Za p > 6 so tlakovanja v hiperbolični ravnini, ki se začne s prisekanim trisedemkotnim tlakovanjem.

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Wenninger (1974), model 16, str. 30.
  2. Williams (1979), § 3-9, str. 94.
  3. Cromwell (1997), str. 82.
  4. Weisstein, Eric Wolfgang. "Icosahedral group". MathWorld (angleščina).

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi