Rektifikacija (geometrija)

Prisekana kocka je kubooktaeder – robovi so zmanjšani do ogliščin oglišča so razširjena do novih stranskih ploskev.
Birektificirana (dvojno rektificirana) kocka je oktaeder – stranske ploskve so zmanjšane v točke in nove stranske ploskve se nahajajo v prvotnih ogliščih.

Rektifikacija je v geometriji postopek v katerem prisekamo politop tako, da označimo središčne točke vseh njegovih robov in odrežemo oglišča v teh točkah. Politop, ki nastane, je vezan na sliko oglišča in na odrezane facete izhodiščnega politopa.

Zgled rektifikacije kot dokončno prisekanjeUredi

Rektifikacija je končni postopek pri prisekovanju. Na kocki to zaporedje kaže štiri korake med pravilno in rektificirano obliko  

Rektifikacije višjega redaUredi

Rektifikacije višjega reda se lahko izvedejo na pravilnih politopih z višjimi razsežnostmi. Najvišji red rektifikacije kreira dualne politope. Rektifikacija odreže robove tako, da postanejo točke. Birektifikacija odreže stranske ploskve tako, da te postanejo točke. Trirektifikacija odreže celice v točke in končna rektifikacija je dualni politop.

Primer birektifikacije kot končne prisekanostiUredi

 

V mnogokotnikihUredi

Dualni poligon je isto kot njegova rektificirana oblika.

V poliedrih in ravninskem tlakovanjuUredi

Vsako platonsko telo in njegov dual imajo isti rektificirani polieder.

Rektificirani polieder se kaže kot, da se lahko izrazi kot kombinacija imen izvornega telesa in njegovega duala

  1. rektificiran tetraeder katerega dual je tetraeder se imenuje tetraeder, ki ga poznamo tudi kot oktaeder
  2. rektificirani oktaeder, katerega dual je kocka, se imenuje kubooktaeder
družina starševsko telo rektifikacija dualno telo
[3,3]  
tetraeder
 
tetraeder
 
tetraeder
[4,3]  
kocka
 
kubooktaeder
 
oktaeder
[5,3]  
dodekaeder
 
ikozidodekaeder
 
ikozaeder
[6,3]  
šestkotno tlakovanje
 
triheksagonalno tlakovanje
 
trikotno tlakovanje
[7,3]  
heptagonalno tlakovanje reda 3
 
triheptagonalno tlakovanje
 
trikotno tlakovanje reda 7
[4,4]  
kvadratno tlakovanje
 
kvadratno tlakovanje
 
kvadratno tlakovanje
[5,4]  
pentagonalno tlakovanje reda 4
 
tetrapentagonalno tlakovanje
 
kvadratno tlakovanje reda 5

V nepravilnih poliedrihUredi

Kadar polieder ni pravilen vedno niso srednje točke okoli oglišča v isti ravnini (koplanarne). Kljub temu je možna rektifikacija.

V polihoronih in v teselacijah trirazsežnega satovjaUredi

Vsak konveksni pravilni polihoronima rektificirano obliko uniformnega polihorona.

Pravilni polihoron {p, q, r} ima celice {p, q} dveh vrst rektificirane {p, q}, ki so ostale od izvornih celic in novih celic {q, r} poliedra, ki so nastale v vsakem od prirezanih oglišč.

Zgledi:

družina starševsko telo rektifikacija Birektifikacija
(dualna rektifikacija)
Trirektifikacija
(dualna)
[3,3,3]  
5-celica
 
rektificirana 5-celica
 
rektificirana 5-celica
 
5-celica
[4,3,3]  
teserakt
 
rektificirani teserakt
 
rektificirana 16-celica
(24-celica)
 
16-celica
[3,4,3]  
24-celica
 
rektificirana 24-celica
 
rektificirana 24-celica
 
24-celica
[5,3,3]  
120-celica
 
rectificirana 120-celica
 
rektificirana 600-celica
 
600-celica
[4,3,4]  
kubično satovje
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje
 
kubično satovje
[5,3,4]  
Order-4 dodecahedral
(Ni slike)
rektificirano dodekaedersko satovje reda 4
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje reda 5
 
kubično satovje reda 5

Red rektifikacijeUredi

Prvi red rektifikacije odreže robove do točk. Kadar je politop pravilni politop lahko njegovo obliko prikažemo z razširjenim Schläflijevim simbolom, ki ima obliko t1{p,q,...}.

Rektifikacija drugega reda se imenuje birektifikacija. Če je pravilna, jo označujemo s t2{p,q,...}.

Pri poliedrih birektifikacija naredi dualne poliedre.

Rektifikacije višjega reda se lahko konstruirajo za politope višjega reda. V splošnem n-rektifikacija odreže n-stransko ploskev do točk.

Kadar n-politop rektificiramo, se njegove facete zmanšajo v točke in politop, ki ga dobimo, je njegov dual.

Notacije in faceteUredi

Pravilni mnogokotnikiUredi

Facete so robovi, ki jih označujemo z {2}.

name
{p}
Coxeter-Dinkin t-notacija
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski     t0{p}    
rektificirano     t1{p}    

Pravilni poliedri in tlakovanjaUredi

Facete so pravilni mnogokotniki.

name
{p,q}
Coxeter-Dinkin t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski       t0{p,q}    
rektificirani       t1{p,q}      
birektificirani       t2{p,q}    

Pravilni polihoroni in satovjeUredi

Facete so pravilni ali rektificirani poliedri.

name
{p,q,r}
Coxeter-Dinkin t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski         t0{p,q,r}    
rektificirani         t1{p,q,r}      
birektificirani         t2{p,q,r}      
trirektificirani         t3{p,q,r}    

Pravilni 5-politopi (politoroni) in 4-razsežno satovjeUredi

Facete so pravilni ali rektificirani polihoroni.

name
{p,q,r,s}
Coxeter-Dinkin t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
Parent           t0{p,q,r,s}    
rektificirani           t1{p,q,r,s}      
birektificirani           t2{p,q,r,s}      
trirektificirani           t3{p,q,r,s}      
kvadrirektificirani           t4{p,q,r,s}    

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi