Prisekani kubooktaeder

Prisekani kubooktaeder
Truncatedcuboctahedron.jpg
(animacija)
vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
elementi F = 26, E = 72,
V = 4 8 (χ = 2)
stranske ploskve na stran 12{4} + 8{6} + 6{8}
Conwayjev zapis bC ali taC
Schläflijevi simboli tr{4,3} ali
t0,1,2{4,3}
Wythoffov simbol 2 3 4 |
Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
simetrija Oh, B3, [4,3], (*432), red 48
vrtilna grupa O, [4,3]+, (432), red 24
diedrski kot 4-6: arccos(-√6/3 = 144º 44′ 08″
4-8: arccos(-√2/3) = 135º
6-8: arccos(-√3/3) = 125º 15′ 51″
sklici U11, C23, W15
značilnosti konveksen
polpravilen
zonoeder
Great rhombicuboctahedron.png
obarvane stranske ploskve
Great rhombicuboctahedron vertfig.png
4.6.8
(slika oglišč)
Disdyakisdodecahedron.jpg disdiakisni dodekaeder
(dualni polieder)
Truncated cuboctahedron flat.svg
mreža telesa

Prisekani kubooktaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima šestindvajset pravilnih stranskih ploskev, od tega dvanajst kvadratnih, osem šestkotniških in šest osemkotniških, ter 72 robov in 48 oglišč. Ker ima vsaka stranska ploskev točkovno simetrijo, kar je enakovredno vrtilni simetriji, je to telo tudi zonoeder.

Druga imenaUredi

Izmenoma se uporabljajo tudi drugačna imena za prisekani kubooktaeder:

  • rombiprisekani kubooktaeder [1]
  • veliki rombikubooktaeder [2]
  • veliki rombkubooktaeder [3]

Ime prisekani kubooktaeder je dal telesu nemški astrolog, astronom in matematik Johannes Kepler (1571–1630). To ime je malo zavajoče. Če se priseka kubooktaeder tako, da se odstrani oglišča, se ne dobi takšnega uniformnega telesa. Nekatere stranske ploskve bi bile pravokotniki. Rezultirajoče telo je topološko enakovredno prisekanemu kubooktaedru, ki se ga vedno lahko spremeni, dokler so stranske ploskve pravilne.

Drugo ime velikega rombikubooktaedra se nanaša na dejstvo, da 12 kvadratnih stranskih ploskev leži v isti ravnini kot 12 stranskih ploskev rombskega dodekaedra, ki pa je dual kubooktaedra.

Ameriški matematik Norman Johson (*1930) je telo imenoval omniprisekana kocka ali kantiprisekana kocka.

Kartezične koordinateUredi

Kartezične koordinate oglišč prisekanega kubooktaedra, ki ima dolžino roba 2 in leži v izhodišču, so vse permutacije vrednosti:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2)).

Površina in prostorninaUredi

Površina P in prostornina V prisekanega oktaedra z dolžino roba a sta:

 
 

OgliščaUredi

Da se poišče število oglišč, je pomembno to, da je vsako oglišče stičišče kvadrata, šestkotnika in osemkotnika.

Dualno teloUredi

Uniformna barvanjaUredi

Obstaja samo ena oblika uniformnega barvanja stranskih ploskev tega poliedra. To vključuje po eno barvo za vsako stransko ploskev.

2-uniformno barvanje tudi obstaja z izmenoma obarvanimi šestkotniki.

Pravokotne projekcijeUredi

Prisekani kubooktaeder ima dva posebni pravokotni projekciji v Coxeterjevih ravninah A2 in B2 s projektivno simetrijo [6] in [8]. Številne simetrije se lahko konstruira iz različnih projektivnih ravnin v odvisnosti od elementov poliedrov.

Pravokotne projekcije
usrediščeno na oglišče rob
4-6
rob
4-8
rob
6-8
pravokotnico na
stransko ploskev
4-6
slika          
projektivna
simetrija
[2]+ [2] [2] [2] [2]
disdiakisni
dodekaeder
         
usrediščeno na pravokotnico na
stransko ploskev –
kvadrat
pravokotnico na
stransko ploskev –
osemkotnik
stransko ploskev –
kvadrat
stransko ploskev –
šestkotnik
stransko ploskev –
osemkotnik
slika          
projektivna
simetrija
[2] [2] [2] [6] [8]
disdiakisni
dodekaeder
         

Sorodni poliedri in tlakovanjaUredi

Vsak prisekani kubooktaeder je eden izmed članov družine uniformnih poliedrov, ki so sorodni kocki in pravilnemu oktaedru.

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t0,1{3,4} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} {4,3} h0{4,3} h1,2{4,3}
                   
                                                           

Ta polieder se lahko obravnava kot zaporedje uniformnih vzorcev, ki imajo sliko oglišč (4.6.2p) ter Coxeter-Dinkinov diagram      . Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so prikazani spodaj kot sferno tlakovanje. Za p > 6 so to tlakovanja hiperbolične ravnine, ki se prične s trisedemkotnim tlakovanjem.

simetrija sferna ravninska hiperbolična
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]
 
*∞32
[∞,3]
 
red 12 24 48 120
omniprisekana
oblika
 
4.6.4
 
4.6.6
 
4.6.8
 
4.6.10
 
4.6.12
 
4.6.14
 
4.6.16
 
4.6.∞
Coxeter
Schläfli
     
t0,1,2{2,3}
     
t0,1,2{3,3}
     
t0,1,2{4,3}
     
t0,1,2{5,3}
     
t0,1,2{6,3}
     
t0,1,2{7,3}
     
t0,1,2{8,3}
     
t0,1,2{∞,3}
omniprisekani
duali
 
V4.6.4
 
V4.6.6
 
V4.6.8
 
V4.6.10
 
V4.6.12
 
V4.6.14
V4.6.16 V4.6.∞
Coxeter                                                

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Wenninger, Magnus (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR0467493 (Model 15, p. 29)
  2. Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (p. 82)
  3. http://books.google.si/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false (poglavje 3-9, s. 82)

Zunanje povezaveUredi