Coxeterjeva grupa

Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa, ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

DefinicijaUredi

Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot:

 

kjer je:

  •  
  •   za  

Pogoj   pomeni, da se odnosa v obliki   ne da prikazati.

Končne Coxeterjeve grupeUredi

 
Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

RazvrščanjeUredi

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom  , eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva ( ) in šestimi posebnimi grupami   in  .

Weylove grupeUredi

Glavni članek: Weylove grupe.

Mnoge Coxeterjeve grupe, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini   in   ter

ZnačilnostiUredi

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

simbol
grupe
drugi
simbol
notacija z oklepaji rank red sorodni politopi Coxeter-Dinkinov diagram
An An [3n] n (n + 1)! n-simpleks     ..    
BCn Cn [4,3n-1] n 2n n! n-hiperkocka / n-ortopleks     ...    
Dn Bn [3n-3,1,1] n 2n−1 n! n-polhiperkocka     ...    
E6 E6 [32,2,1] 6 72x6! = 51840 221, 122          
E7 E7 [33,2,1] 7 72x8! = 2903040 321, 231, 132            
E8 E8 [34,2,1] 8 192x10! = 696729600 421, 241, 142              
F4 F4 [3,4,3] 4 1152 24-celica        
G2 - [6] 2 12 šestkotnik    
H2 G2 [5] 2 10 petkotnik    
H3 G3 [3,5] 3 120 ikozaeder / dodekaeder      
H4 G4 [3,3,5] 4 14400 120-celica / 600-celica        
I2(p) D2p [p] 2 2p p-kotnik    

Simetrijske grupe pravilnih politopovUredi

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa Sn+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BCn, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diedrske grupe, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I2(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa Dn, E6, E7 in E8 so polpravilni politopi.


Pregled družin politopov
grupa An BCn Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn In(p)
2  
   

(trikotnik)

 
   

kvadrat

   
   
šestkotnik
 
   
petkotnik
   
p-kotnik
3  
     
tetraeder
 
     
kocka
 
     
oktaeder
 
   
tetraeder
   
     
dodekaeder
 
     
ikozaeder
4  
       
5-celica
 
       

teserakt

 
       
16-celica
 
     

polteserakt

 
       
24-celica
 
       
120-celica
 
       
600-celica
5  
         
5-simpleks
 
         
5-kocka
 
         
5-ortopleks
 
       
5-polkocka
   
6  
           
6-simpleks
 
           
6-kocka
 
           
6-ortopleks
 
         
6-polkocka
 
         
122
 
         
221
 
7  
             
7-simpleks
 
             
7-kocka
 
             
7-ortopleks
 
           
7-polkocka
 
           
132
 
           
231
 
           
321
 
8  
               
8-simpleks
 
               
8-kocka
 
               
8-ortopleks
 
             
8-polkocka
 
             
142
 
             
241
 
             
421
 
9  
                 
9-simpleks
 
                 
9-kocka
 
                 
9-ortopleks
 
               
9-polkocka
 
10  
                   
10-simpleks
 
                   
10-kocka
 
                   
10-ortopleks
 
                 
10-polkocka
 
družina
n
n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

Opomba:Oznake: An, Bn, Cn, Dn, Hn, E6, E7, E8, F4 in G2 so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupeUredi

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

simbol
grupe
Wittov
simbol
notacija z oklepaji sorodne uniformne teselacije Coxeter-Dinkinov diagram
  Pn+1 [3[n+1]] simplektično satovje
 :trikotno tlakovanje
 :tetraedersko-oktaedersko satovje
    ...    
  Sn+1 [4,3n-2,31,1] polkockino satovje       ...    
  Rn+1 [4,3n-1,4] hiperkockino satovje       ...    
  Qn+1 [ 31,1,3n-3,31,1] polhiperkubično satovje       ...    
  T7 [32,2,2] 222          
  T8 [33,3,1] 331, 133              
  T9 [35,2,1] 521, 251, 152                
  U5 [3,4,3,3] 16-cell satovje
24-celično satovje
         
  V3 [6,3] šestkotno tlakovanje in
trikotno tlakovanje
     
  W2 [∞] apeirogon    

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "CoxeterGroup". MathWorld (angleščina).
  • Coxeterjeve grupe (angleško)