Conwayjeva notacija poliedrov

Ta primer kaže, kako lahko 11 novih oblik dobimo iz kocke z uporabo 3 postopkov. Novi poliedri so prikazani kot podobe na površini kocke, da so topološke spremembe bolj opazne. Oglišča so označena na vseh oblikah s krogci.

Conwayjeva notacija poliedrov se uporablja za opis poliedrov na osnovi osnovnega poliedra, ki ga spremenimo z različnimi operacijami.

Osnovni poliedri so platonska telesa, ki jih prikažemo s prvo črko njihovega imena (T, O, C, I, D) prizme (Pn) antiprizme (An) ali piramide (Yn). Vsak konveksni polieder lahko služi kot osnova, dokler lahko na njem izvajamo operacije.

Angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937) je razširil zamisel o uporabi operatorjev kot je prisekanje, da bi izdelal sorodne poliedre z isto simetrijo. Njegovi operatorji lahko generirajo vsa arhimedska telesa in Catalanova telesa in pravilnih osnovnih teles. Uporabljeni v skupini ti operatorji omogočajo nastanek mnogih poliedrov višjega reda.

Operacije nad poliedriUredi

operator ime alternativna
konstrukcija
oglišča robovi stranske ploskve opis
osnovno telo v e f oblika osnove
r reflekt
(Hart)
v e f zrcalna slika kiralnih oblik
d dual f e v dualno telo osnovnega poliedra – vsako oglišče kreira novo stransko ploskev
a ambo e 2e 2+e robovi so nova oglišča, stara oglišča izginejo. (rektificirano)
j združen da e+2 2e e zametek je povečan s piramidami v dovolj veliki višini, tako, da imata 2 koplanarna trikotnika iz dveh različnih piramid skupen rob.
t prisekan dkd 2e 3e e+2 prisekana vsa oglišča.
-- -- dk 2e 3e e+2 dual oblike kis, (dvojna prisekanost)
-- -- kd e+2 3e 2e kis oblika duala
k kis dtd e+2 3e 2e dvigne piramido na vsaki stranski ploskvi.
c ožlebljen e+v 4e 2e+f nove šestkotne stranske ploskve se dodajo namesto robov.
- - dc 2e+f 4e e+v
e razširjen aa 2e 4e 2e+2 vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari nov štirikotnik. (kantelirano)
o orto de 2e+2 4e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se razdeli v n štirikotnike.
p propeler
(Hart)
v+2e 4e e+f vrtenje stranskih ploskev, ki ustvari štirikotnike na ogliščih (sebi-dualne)
- - dp e+f 4e v+2e
s prirezanost dg 2e 5e 3e+2 "razširi in zvij" – vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari dva nova trikotnika
g giro ds 3e+2 5e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se deli na n petkotnikov.
b nagnjen ta 4e 6e 2e+2 nove stranske ploskve se dodajo na mesta robov in oglišč omniprisekanost (znana tudi kot kantiprisekanost v višjih politopih).
m meta db & kj 2e+2 6e 4e n-kotne stranske ploskve se razdelijo v 2n trikotnikov

Posebne oblike postopek kis ima variacijo kn, ki doda piramide na stranske ploskve, ki imajo n stranic operator prisekanosti ima variante tn, ki samo prisekajo oglišča z redom n.

Operatorji se izvajajo od desne proti levi. Zgled: * dual tetraedra je dT

Vse operacije ohranjajo simetrijo, razen zvijanja.

ZglediUredi

Kocka lahko generira vse konveksne uniformne poliedre z oktaedrsko simetrijo.

kocka
"osnova" (zametek)
ambo
(rektificirano)
prisekano dvojno prisekano razširjeno
(kantelirano)
nagnjeno
(omniprisekano)
prirezanost
 
C
 
aC = djC
 
tC = dkdC
 
tdC = dkC
 
eC = aaC = doC
 
bC = taC = dmC = dkjC
 
sC = dgC
dualni združen kis
(razpolovljeno oglišče)
orto
(razpolovljen rob)
meta
(polno razpolovljeno)
giro
 
dC
 
jC = daC
 
kdC = dtC
 
kC = dtdC
 
oC = deC = daaC
 
mC = dbC = kjC
 
gC = dsC

Generiranje pravilnih osnovnih telesUredi

Vseh pet pravilnih poliedrov se lahko generira iz prizmatičnih generatorjev z nič ali eno operacijo.

Razširitev Conwayjevih simbolovUredi

Zgornje operacije omogočajo, da se polpravilni poliedri in Catalanova telesa generirajo iz pravilnih poliedrov. S kombinacijo operacij lahko dobimo še več višjih operacij. Veliko zanimivih poliedrov višjega reda zahteva sestavo novih operatorjev.

Geometrijski umetnik George William Hart (rojen 1955) je kreiral operacijo, ki jo je imenoval propeler ter še eno operacijo z imenom reflekt s katero je kreiral zrcalne slike vrtečih se oblik.

  • "propeler" pomeni operacijo vrtenja, ki kreira štirikotnike na ogliščih. Ta operacija je sebi dualna: dpX = pdX.
  • "reflekt" kreira zrcalno sliko osnovnega telesa. Nima pravega efekta razen, če je osnovno telo narejeno z s ali g.

Geometrijske koordinate izpeljanih oblikUredi

Primer: Dodekaederska osnova kot sferno tlakovanje
 
D
 
tD
 
aD
 
tdD
 
eD
 
teD
 
sD
 
dD
 
dteD
Primer: Osnova za evklidsko šestkotno tlakovanje (H)
 
H
 
tH
 
aH
 
tdH = H
 
eH
 
teH
 
sH
 
dH
 
dtH
 
daH
 
dtdH = dH
 
deH
 
dteH
 
dsH
Primer: Prosojne osnove za tetraeder (T)
 
T
 
tT
 
T
 
tdT
 
eT
 
bT
 
sT
 
dT
 
dtT
 
jT
 
kT
 
oT
 
mT
 
gT
Primer: Osnova za hiperbolično sedemkotno tlakovanje
{7,3}
"osnova"
prisekano ambo
(rektificirano)
dvojno prisekano razširjeno
(kantelirano)
bevel
(omniprisekano)
prirezana oblika
             
dual združeno kis
(razpolovitev oglišča)
orto
(razpolovitev roba)
meta
(polna razpolovitev)
giro
             

Ostali poliedriUredi

Tetraedrska simetrijaUredi

Oktaedrska simetrijaUredi

Ikozaedrska simetrijaUredi

Rombska:

Trikotni:

Dualni trikotni:

Trikotni kiralni:

Dualni trikotni kiralni:

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Conwayjeva notacija za poliedre (angleško)
  • Imena poliedrov (angleško)
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Conway Polyhedron Notation". MathWorld (angleščina).
  • Conwayjeva notacija (angleško)
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Truncation". MathWorld (angleščina).
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Rectification". MathWorld (angleščina).
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Cumulation". MathWorld (angleščina).
  • Conwayjevi operatorji (angleško)
  • Izpeljana telesa (angleško)