Uniformni zvezdni polieder

(Preusmerjeno s strani Nekonveksni uniformni polieder)

Uniformni zvezdni polieder je sebesekajoči uniformni polieder. Imenuje se tudi nekonveksni polieder. Vsak polieder ima stranske ploskve, ki so zvezdni mnogokotniki, imajo za slike oglišč zvezdne mnogokotnike ali oboje.

Polna skupina 57 neprizmatičnih uniformnih poliedrov vključuje 4 pravilne, ki se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri, 5 je kvazipravilnih poliedrov in 48 je polpravilnih.

Razen tega obstaja še neskončna množica uniformnih zvezdnih prizem in uniformnih zvezdnih antiprizem. Tako kot neizrojeni zvezdni mnogokotniki, ki imajo mnogokotniško gostoto večjo od 1 in pripadajo krožnim mnogokotnikom s prekrivajočimi se ploščicami, zvezdni poliedri ne potekajo skozi središče in imajo politopsko gostoto večjo od 1, ter odgovarjajo sfernim poliedrom s prekrivajočimi se ploščicami. Obstaja 48 takšnih uniformnih zvezdnih poliedrov. Ostalih 9 neprizmatičnih uniformnih zvezdnih poliedrov, ki tečejo skozi središče, je polpoliedrov in ne odgovarjajo sfernim poliedrom, ker se jim ne da na enoličen način projicirati središča na sfero.

Nekonveksne oblike se lahko konstruirajo s pomočjo Schwarzevih trikotnikov.

Mali prirezani ikozikozidodekaeder je uniformni zvezdni polieder s sliko oglišč 35.5/2
(3 3 2) trikotniki na sferi

Diedrska simetrijaUredi

Glej prizmatični uniformni polieder.

Tetraedrska simetrijaUredi

Obstajata dve nekonveksni obliki. To sta tetrahemiheksaeder in octahemioktaeder, ki imata tetraedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (3 3 2)).

Obstojata dva Schwarzeva trikotnika, ki enolično generirata nekonveksne uniformne poliedre: eden je pravokotni trikotnik (3/2 3 2) in en splošni trikotnik (3/2 3 3).

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike
 
tetraeder
 
 
rektificirani tetraeder
(oktaeder)
 
Tetrahemiheksaeder4.3/2.4.3)
3/2 3 | 2
 
prisekani tetraeder
 
 
kantelirani tetraeder
(kubooktaeder)
 
(6.3/2.6.3)
3/2 3 | 3
 
omniprisekani tetraeder
(prisekani oktaeder)
 
 
prirezani tetraeder
(ikozaeder)
 

Oktaedrska simetrijaUredi

 
(4 3 2) trikotniki na sferi

Obstaja 8 konveksnih in 10 nekonveksnih oblik z oktaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (4 3 2)).

Znani so štirje Schwarzevi trikotniki, ki nekonveksne oblike, od tega sta dva za pravokotne trikotnike (3/2 4 2) in (4/3 3 2) ter dva za splošne trikotnike: (4/3 4 3) in (3/2 4 4), ki generirajo nekonveksne oblike.

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike
 
kocka
 
 
oktaeder
 
 
kubooktaeder
 
(6.4/3.6.4)
4/3 4 | 3
 
prisekana kocka
 
(4.8/3.4/3.8/5)
2 4/3 (3/2 4/2) |
 
(8/3.3.8/3.4)
3 4 | 4/3
 
(4.3/2.4.4)
3/2 4 | 2
 
prisekani oktaeder
 
 
rombikubooktaeder
 
(4.8.4/3.8)
2 4 (3/2 4/2) |
 
(8.3/2.8.4)
3/2 4 | 4
 
(8/3.8/3.3)
2 3 | 4/3
 
neuniformni
prisekani kubooktaeder
 
(4.6.8/3)
2 3 4/3 |
 
neuniformni
prisekani kubooktaeder
 
(8/3.6.8)
3 4 4/3 |
 
prirezana kocka
 

Ikozaedrska simetrijaUredi

 
(5 3 2) trikotniki na sferi

Znanih je 8 konveksnih in 46 nekonveksnih oblik z ikozaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (5 3 2). Nekatere od prirezanih oblik imajo zrcalno ogliščno simetrijo.

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike
 
ikozaeder
 
{5,5/2}
 
{5/2,5}
 
{3,5/2}
 
neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3
 
U37
2 5/2 | 5
 
U61
5/2 3 | 5/3
 
U67
5/3 3 | 2
 
U73
2 5/3 (3/2 5/4) |
 
neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3
 
U38
5/2 5 | 2
 
U44
5/3 5 | 3
 
U56
2 3 (5/4 5/2) |
 
neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3
 
U32
| 5/2 3 3
 
ikozidodekaeder
2 | 3 5
 
U49
3/2 3 | 5
 
U51
5/4 5 | 5
 
U54
2 | 3 5/2
 
U70
5/3 5/2 | 5/3
 
U71
3 3 | 5/3
 
U36
2 | 5 5/2
 
U62
5/3 5/2 | 3
 
U65
5/4 5 | 3
 
prisekani dodekaeder
2 3 | 5
 
U42
 
U48
 
U63
 
neuniformni
prisekani dodekaeder
 
U72
 
dodekaeder
 
{5/2,3}
 
U30
 
U41
 
U47
 
rombiikozidodekaeder
 
U33
 
U39
 
U58
 
Beveled
Dodecahedron
 
U55
 
neuniformni
rombiikozidodekaeder
 
U31
 
U43
 
U50
 
U66
 
neuniformni
rombiikozidodekaeder
 
U75
 
U64
 
Skillingova oblika
(glej spodaj)
 
neuniformni
prisekani ikozidodekaeder
 
U45
 
neuniformni
prisekani ikozidodekaeder
 
U59
 
neuniformni
prisekani ikozidodekaeder
 
U68
 
neuniformni
prirezani dodekaeder
 
U40
 
U46
 
U57
 
U69
 
U60
 
U74

Skillingova oblikaUredi

Eden izmed ostalih nekonveksnih poliedrov je veliki dvojnoprirezani dirombidodekaeder, ki je znan kot Skillingova oblika. Je ogliščno uniformen. Pari robov sovpadajo v prostoru. Štiri stranske ploskve se tako srečajo na istem robu. Ima simetrijo Ih.

 

Izrojene oblikeUredi

Coxeter (1907-2003) je našel večje število izrojenih zvezdnih poliedrov s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Ti poliedri vsebujejo prekrivajoče se robove in oglišča. Takšni izrojeni obliki sta:

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Uniform Polyhedron". MathWorld (angleščina).