Ploščina

Plôščina (tudi ploščína) je v geometriji mera za velikost geometrijskega lika oziroma dela ravnine. Ploščina je v tesni zvezi s površino, ki je vsota ploščin vseh mejnih ploskev telesa. Izraz ploščina praviloma uporabljamo za dvorazsežne objekte (like - dele ravnine), površina pa za trirazsežne objekte (telesa - dele prostora).

V slovenski matematiki je bila dolgo edina oznaka za ploščino mala črka p (začetna črka besede ploščina), v novejšem času pa se uveljavlja tudi velika črka S (začetna črka latinske besede superficium). V tujih jezikih pogosto srečamo tudi oznako A (začetna črka latinske besede area).

Definicija ploščine

Pravokotnik s stranicama 5 in 4 lahko pokrijemo z 20 enotskimi kvadratki

Enota za merjenje ploščine je enotski kvadratek - to je kvadrat, ki ima za stranico 1 dolžinsko enoto. Ploščina lika je število, ki nam pove, koliko enotskih kvadratkov popolnoma prekrije dani lik. Zgled: Pravokotnik s stranicama 5 (dolžinskih enot) in 4 (dolžinske enote) lahko pokrijemo s 5 · 4 = 20 enotskimi kvadratki, torej je njegova ploščina enaka 20 (ploščinskih enot). Na tem principu temelji formula za ploščino pravokotnika s stranicama a in b: ploščina p = ab.

Pri drugih likih se pokrivanje z enotskimi kvadratki ne izide vedno. Postopek nadaljujemo z manjšimi kvadratki, npr s takimi, ki predstavljajo stotinko, desettisočinko, milijoninko osnovne enote in tako napej do infinitezimalno majhnih enot.

Ploščine osnovnih likov

Za računanje ploščin osnovnih likov uporabljamo naslednje formule:

Trikotniki

• ploščina trikotnika z dano stranico in višino:

$p={\frac {a~v_{a}}{2}}={\frac {b~v_{b}}{2}}={\frac {c~v_{c}}{2}}$

• ploščina trikotnika z danima dvema stranicama in kotom med njima:

$p={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ac\sin \beta }{2}}$

• ploščina trikotnika z danimi stranicami (Heronova formula):

$p={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$, pri čemer je $s={\frac {a+b+c}{2}}$

• ploščina enakostraničnega trikotnika:

$p={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

Štirikotniki

• ploščina pravokotnika s stranicama a in b:

$p=a~b\!\,$

• ploščina kvadrata s stranico a:

$p=a^{2}\!\,$

• ploščina paralelograma z dano stranico in ustrezno višino:

$p=a~v_{a}=b~v_{b}\!\,$

• ploščina paralelograma z danima dvema stranicama in enim kotom:

$p=ab\sin \alpha =ab\sin \beta \!\,$

• ploščina trapeza z danima osnovnicama in višino:

$p={\frac {a+c}{2}}~v$

• ploščina štirikotnika s pravokotnima diagonalama e in f (npr.: deltoida, romba):

$p={\frac {ef}{2}}$

Pravilni mnogokotniki

• ploščina pravilnega trikotnika (enakostraničnega trikotnika):

$p={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

• ploščina pravilnega štirikotnika (kvadrata):

$p=a^{2}\!\,$

• ploščina pravilnega šestkotnika:

$p={\frac {3a^{2}{\sqrt {3}}}{2}}$

• ploščina pravilnega osemkotnika:

$p=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}$

Drugi liki

• ploščina kroga s polmerom r:

$p=\pi r^{2}\!\,$

• ploščina elipse s polosema a in b:

$p=\pi ab\!\,$

Ploščine krivočrtnih likov

Ploščino krivočrtnih likov, ko so omejeni s krivuljami lahko izračunamo z integralom.

• ploščina lika pod grafom funkcije $y=f(x)$ na intervalu $[a,b]$:

$p=\int _{a}^{b}f(x)dx$

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s parametrično podano krivuljo $x=x(t),y=y(t)$ med vrednostmi parametra $t=t_{0}$ in $t=t_{1}$(vrednost $o$ je enaka $1$ ali $-1$ in je odvisna od orientacije krivulje):

$o\cdot p={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}xdy-ydx={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x(t){\dot {y}}(t)-{\dot {x}}(t)y(t)\right)dt$

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s krivuljo podano v polarnih koordinatah $r=r(\varphi )$:

$p=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}r^{2}(\varphi )d\varphi$

• ploščine zanke, ki jo omejuje pozitivno orientirana parametrično podana krivulja (integalske meje sta parametra samopresečišča):

$p={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}xdy-ydx={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x(t){\dot {y}}(t)-{\dot {x}}(t)y(t)\right)dt$

Mere za ploščino

Mednarodni sistem enot (SI) predpisuje za merjenje površine izpeljano enoto kvadratni meter. Poleg tega pogosto uporabljamo tudi kvadratni centimeter, kvadratni milimeter, kvadratni kilometer, ipd.

Glej tudi

• površina
• obseg