Uniformno tlakovanje

Uniformno tlakovanje je v geometriji vrsta teselacije ravnine s stranskimi ploskvami pravilnega mnogokotnika (uniformni polieder ima pravilne mnogokotnike kot stranske ploskve) z edino omejitvijo, da so ogliščnouniformni.

Uniformno tlakovanje je možno v evklidski in hiperbolični ravnini.

Večino uniformnih tlakovanj se lahko izdela s pomočjo Wythoffove konstrukcije tako, da se prične z grupo simetrije in posamezno generatorsko točko znotraj osnovne domene. Ravninska grupa simetrije ima mnogokotniško osnovno domeno in se jo lahko predstavi z zaporedjem zrcal v zaporednih ogliščih.

Osnovna domena trikotnika je (p q r) kjer so p, q in r cela števila, večja od 1, ter pravokotni trikotnik (p q 2). Trikotnik lahko obstaja kot sferni trikotnik, evklidski ravninski trikotnik ali hiperbolični ravninski trikotnik, kar je odvisno od vrednosti p, q in r.

Obstaja več simboličnih shem za imenovanje teh oblik.

Coxeterjeve grupeUredi

evklidska ravnina
orbiterična
simetrija
Coxeterjeva grupa Coxeter-Dinkinov
diagram
opombe
kompaktne
*333 (3 3 3)   [Δ]     3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
*442 (4 4 2)   [4,4]       5 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*632 (6 3 2)   [6,3]       7 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*2222 (∞ 2 ∞ 2)   ×   [∞] × [∞]         3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
nekompaktne (frizijske)
*∞∞ (∞)   [∞]    
*22∞ (2 2 ∞)   ×   [∞] × [ ]       2 zrcalni obliki, 1 prirezana oblika
hiperbolična ravnina
orbiterična
simetrija
Coxeterjeva grupa Coxeter-Dinkinov
diagram
opombe
kompaktne
*pq2 (p q 2) [p,q]        2p+2q < pq
*pqr (p q r)        pq+pr+qr < pqr
parakompaktne
*∞p2 (p ∞ 2) [p,∞]       p>=3
*∞pq (p q ∞)         p,q>=3, p+q>6
*∞∞p (p ∞ ∞)         p>=3
*∞∞∞ (∞ ∞ ∞)        

Uniformno tlakovanje evklidske ravnineUredi

Za podrobne podatke o tej temi glej tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki.

Obstajajo grupe simetrije na evklidski ravnini, ki se jo konstruira iz osnovnih trikotnikov (4 4 2) in (3 3 3). Vsakega se lahko prikaže kot množico črt odboja, ki deli ravnino v osnovne trikotnike.

Ta simetrija ustvarja tri pravilna tlakovanja in sedem polpravilnih. Številna polpravilna tlakovanja so ponovitve z različnimi konstruktorji.

Prizmatična grupa simetrije, ki je predstavljena z (2 2 2 2) pomeni skupino dveh vzporednih zrcal, ki imata v splošnem pravokotno osnovno domeno.

Naslednja prizemska grupa simetrije, ki jo predstavlja (∞ 2 2) in ima neskončno osnovno domeno. Konstruira dve uniformni tlakovanji apeirogonsko prizmo in apeirogonsko antiprizmo.

Osnovni trikotniki so pravokotni trikotniki: (p q 2)

(p q 2) osnovni
trikotniki
starševsko prisekano rektificirano dvojnoprisekano dvojnorektificirano
(dual)
kantelirano omniprisekano
(kantiprisekano)
prirezana oblika
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q}=t{q,p} 2r{p,q}={q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Coxeter-Dinkinov diagram                                                
konfiguracija oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
kvadratno tlakovanje
(4 4 2)
 
V4.8.8
 
{4,4}
 
4.8.8
 
4.4.4.4
 
4.8.8
 
{4,4}
 
4.4.4.4
 
4.8.8
 
3.3.4.3.4
šestkotno tlakovanje
(6 3 2)
 
V4.6.12
 
{6,3}
 
3.12.12
 
3.6.3.6
 
6.6.6
 
{3,6}
 
3.4.6.4
 
4.6.12
 
3.3.3.3.6

Splošni osnovni trikotniki: (p q r)

Wythoffov simbol
(p q r)
osnovni
trikotniki
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Coxeter-Dinkinov diagram                                                        
konfiguracija oglišč (p.q)r (r.2p.q.2p) (p.r)q (q.2r.p.2r) (q.r)p (q.2r.p.2r) (r.2q.p.2q) (3.r.3.q.3.p)
trikotniško tlakovanje
(3 3 3)
 
V6.6.6
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
(3.3)3
 
3.6.3.6
 
6.6.6
 
3.3.3.3.3.3

Uniformna tlakovanja hiperbolične ravnineUredi

Znanih je neskončno veliko uniformnih tlakovanj s konveksnimi mnogokotniki v [[hiperbolična ravnina|hiperbolični ravnini. Vsako tlakovanje je osnovano na drugi grupi zrcalne simetrije (p q r).

Pravokotni osnovni trikotniki: (p q 2)

(p q 2) osnovni
trikotniki
starševsko prisekano rektificirano dvojnoprisekano dvojnorektificirano
(dualno)
kantelirano omniprisekano
(kantiprisekano)
prirezana oblika
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q}=t{q,p} 2r{p,q}={q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Coxeter-Dinkinov diagram                                                
konfiguracija oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2'p.2q') (3.3.p.3.q)
(hiperbolična ravnina)
(5 4 2)
   
{5,4}
 
4.10.10
 
4.5.4.5
 
5.8.8
 
{4,5}
 
4.4.5.4
 
4.8.10
 
3.3.4.3.5
(hiperbolična ravnina)
(5 5 2)
   
{5,5}
 
5.10.10
 
5.5.5.5
 
5.10.10
 
{5,5}
 
5.4.5.4
 
4.10.10
 
3.3.5.3.5
(hiperbolična ravnina)
(7 3 2)
   
{7,3}
 
3.14.14
 
3.7.3.7
 
7.6.6
 
{3,7}
 
3.4.7.4
 
4.6.14
 
3.3.3.3.7
(hiperbolična ravnina)
(8 3 2)
   
{8,3}
 
3.16.16
 
3.8.3.8
 
8.6.6
 
{3,8}
 
3.4.8.4
 
4.6.16
 
3.3.3.3.8

Splošni osnovni trikotniki (p q r)

Wythoffov simbol
(p q r)
osnovni
trikotniki
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Coxeter-Dinkinov diagram                                                        
konfiguracija oglišč (p.r)q (r.2p.q.2p) (p.q)r (q.2r.p.2r) (q.r)p (q.2r.p.2r) (r.2q.p.2q) (3.r.3.q.3.p)
hiperbolična
(4 3 3)
   
(3.4)3
 
3.8.3.8
 
(3.4)3
 
3.6.4.6
 
(3.3)4
 
3.6.4.6
 
6.6.8
 
3.3.3.3.3.4
hiperbolična
(4 4 3)
   
(3.4)4
 
3.8.4.8
 
(4.4)3
 
3.6.4.6
 
(3.4)4
 
4.6.4.6
 
6.8.8
 
3.3.3.4.3.4
hiperbolična
(4 4 4)
   
(4.4)4
 
4.8.4.8
 
(4.4)4
 
4.8.4.8
 
(4.4)4
 
4.8.4.8
 
8.8.8
 
3.4.3.4.3.4

Sebidualna tlakovanjaUredi

Tlakovanje je lahko tudi sebidualno. Takšno je kvadratno tlakovanje s Schläflijevim simbolom {4,4}.

 
Kvadratno tlakovanje (črno) {4,4} s svojim dualnim tlakovanjem (rdeče).

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Uniform Tessellation". MathWorld (angleščina).
  • Uniformne teselacije v evklidski ravnini (angleško)
  • Teselacije v ravnini (angleško)
  • Svet teselacij Davida Baileya (angleško)
  • k-uniformna tlakovanja (angleško)
  • n-uniformna tlakovanja (angleško)
  • Evklidske teselacije (angleško)