Nožiščna krivulja

Nožiščna krivulja (včasih tudi pedala) je v diferencialni geometriji krivulj krivulja, ki se jo dobi iz druge dane krivulje.

Konstrukcija nožiščne krivulje, pripadajoče krivulji C glede na točko P. Tangenta na krivuljo C je obarvana z rdečo barvo. Dotikališče tangente s krivuljo C je označeno z R.

Ime ima po nožišču, kar je presečišče krivulje in pravokotnice na krivuljo. Enako ime se uporablja tudi za presečišče pravokotnice na ploskev in ploskve.

DefinicijaUredi

Nožiščno krivuljo se dobi iz dane krivulje tako, da se izbere stalno točko   (nožiščna točka tudi pol). Dana krivulja naj bo označena s  . V poljubni točki   na krivulji   se potegne tangento  . V tem primeru se lahko določi točko   na  , ki je enaka   ali pa tvori skupaj s točko   pravokotnico na  . Nožiščna krivulja je geometrijsko mesto točk   za vse   na krivulji  . (glej sliko na desni)

Podobno je točka  , ki leži na pravokotnici na   v točki   tako, da v pravokotniku   (lahko je tudi degeneriran) točke   tvorijo geometrijsko mesto točk krivulje, ki se imenuje antinožiščna krivulja. To je po nastanku nožiščni krivulji podobna krivulja, ki je nastala tako, da se namesto tangente v definiciji uporabi pravokotnico.

Enostavneje se to pove, da je nožiščna krivulja geometrijsko mesto točk nožišč (presečišče pravokotnice in krivulje) pravokotnic od stalne točke z vsemi tangentami na dano krivuljo.

 
Pascalov polž — nožiščna krivulja krožnice.

ZgledUredi

Kadar je krivulja   krožnica, je nastala krivulja Pascalov polž, zanj pa se lahko reče, da je:

  • nožniščna krivulja krožnice
  • ovojnica krožnic, katere premer ima eno končno točko fiksirano, druga točka pa teče po krožnici
  • ovojnica krožnic skozi stalno točko, njihova središča pa tečejo po krožnici
  • krivulja ruleta, ki nastane s krožnico, ki drsi naokrog po krožnici z enakim polmerom


 
Nožiščna krivulja elipse

Opis nožniščne krivuljeUredi

Naj bo:

 

vektor s komponentama:

 

kjer je:

  •   tangentna komponenta
  •   pravokotna komponenta

vektorja   glede na krivuljo.

Komponenta   je vektor od   do  .

Če se označi parameter krivulje s  , potem je parametrična oblika:

 

Parametrično nožniščno krivuljo s pedalno točko v (0,0) se lahko definira kot:

 
 

Antinožiščno krivuljo pa se določi z:

 

Za isto nožiščno točko je antinožiščna krivulja enaka nožniščni krivulji evolute dane krivulje.

dana
krivulja
nožniščna
točka
nožniščna
krivulja
antinožnična
krivulja
premica poljubna točka vzporedni premici
krožnica na obodu srčnica
parabola na osi de Sluzejeva konhoida
parabola na tangenti
na vrhu
ofiurida
parabola gorišče premica
other stožnica gorišče krožnica
logaritemska spirala pol skladna logaritemska spirala skladna logaritemska spirala
epicikloida
hipocikloida
središče vrtnica vrtnica
involuta krožnice središče krožnice Arhimedova spirala krožnica

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Nožiščna krivulja v Preseku (slovensko)
  • Žužki (krivulje) in nožiščne krivulje (slovensko)
  • Nožiščne krivulje (angleško)
  • Kaj je nožiščna krivulja (angleško)
  • Weisstein, Eric W. "Pedal Curve". MathWorld.
  • Nožiščna krivulja (francosko)