Nožiščna krivulja
Nožiščna krivulja (včasih tudi pedala) je v diferencialni geometriji krivulj krivulja, ki se jo dobi iz druge dane krivulje.
Ime ima po nožišču, kar je presečišče krivulje in pravokotnice na krivuljo. Enako ime se uporablja tudi za presečišče pravokotnice na ploskev in ploskve.
Definicija
urediNožiščno krivuljo se dobi iz dane krivulje tako, da se izbere stalno točko (nožiščna točka tudi pol). Dana krivulja naj bo označena s . V poljubni točki na krivulji se potegne tangento . V tem primeru se lahko določi točko na , ki je enaka ali pa tvori skupaj s točko pravokotnico na . Nožiščna krivulja je geometrijsko mesto točk za vse na krivulji . (glej sliko na desni)
Podobno je točka , ki leži na pravokotnici na v točki tako, da v pravokotniku (lahko je tudi degeneriran) točke tvorijo geometrijsko mesto točk krivulje, ki se imenuje antinožiščna krivulja. To je po nastanku nožiščni krivulji podobna krivulja, ki je nastala tako, da se namesto tangente v definiciji uporabi pravokotnico.
Enostavneje se to pove, da je nožiščna krivulja geometrijsko mesto točk nožišč (presečišče pravokotnice in krivulje) pravokotnic od stalne točke z vsemi tangentami na dano krivuljo.
Zgled
urediKadar je krivulja krožnica, je nastala krivulja Pascalov polž, zanj pa se lahko reče, da je:
- nožniščna krivulja krožnice
- ovojnica krožnic, katere premer ima eno končno točko fiksirano, druga točka pa teče po krožnici
- ovojnica krožnic skozi stalno točko, njihova središča pa tečejo po krožnici
- krivulja ruleta, ki nastane s krožnico, ki drsi naokrog po krožnici z enakim polmerom
Opis nožniščne krivulje
urediNaj bo:
vektor s komponentama:
kjer je:
- tangentna komponenta
- pravokotna komponenta
vektorja glede na krivuljo.
Komponenta je vektor od do .
Če se označi parameter krivulje s , potem je parametrična oblika:
Parametrično nožniščno krivuljo s pedalno točko v (0,0) se lahko definira kot:
Antinožiščno krivuljo pa se določi z:
Za isto nožiščno točko je antinožiščna krivulja enaka nožniščni krivulji evolute dane krivulje.
dana krivulja |
nožniščna točka |
nožniščna krivulja |
antinožnična krivulja |
---|---|---|---|
premica | poljubna | točka | vzporedni premici |
krožnica | na obodu | srčnica | — |
parabola | na osi | de Sluzejeva konhoida | — |
parabola | na tangenti na vrhu |
ofiurida | — |
parabola | gorišče | premica | — |
other stožnica | gorišče | krožnica | — |
logaritemska spirala | pol | skladna logaritemska spirala | skladna logaritemska spirala |
epicikloida hipocikloida |
središče | vrtnica | vrtnica |
involuta krožnice | središče krožnice | Arhimedova spirala | krožnica |
Glej tudi
urediZunanje povezave
uredi- Nožiščna krivulja v Preseku (slovensko)
- Žužki (krivulje) in nožiščne krivulje (slovensko)
- Nožiščne krivulje (angleško)
- Kaj je nožiščna krivulja (angleško)
- Weisstein, Eric Wolfgang. »Pedal Curve«. MathWorld.
- Nožiščna krivulja (francosko)