Nožiščna krivulja

Nožiščna krivulja (včasih tudi pedala) je v diferencialni geometriji krivulj krivulja, ki se jo dobi iz druge dane krivulje.

Konstrukcija nožiščne krivulje, pripadajoče krivulji C glede na točko P. Tangenta na krivuljo C je obarvana z rdečo barvo. Dotikališče tangente s krivuljo C je označeno z R.

Ime ima po nožišču, kar je presečišče krivulje in pravokotnice na krivuljo. Enako ime se uporablja tudi za presečišče pravokotnice na ploskev in ploskve.

Definicija

Nožiščno krivuljo se dobi iz dane krivulje tako, da se izbere stalno točko $P\,$ (nožiščna točka tudi pol). Dana krivulja naj bo označena s $C\,$. V poljubni točki $R\,$ na krivulji $C\,$ se potegne tangento $T\,$. V tem primeru se lahko določi točko $X\,$ na $T\,$, ki je enaka $P\,$ ali pa tvori skupaj s točko $P\,$ pravokotnico na $T\,$. Nožiščna krivulja je geometrijsko mesto točk $X\,$ za vse $R\,$ na krivulji $C\,$. (glej sliko na desni)

Podobno je točka $Y\,$, ki leži na pravokotnici na $C\,$ v točki $R\,$ tako, da v pravokotniku $PXRY\,$ (lahko je tudi degeneriran) točke $Y\,$ tvorijo geometrijsko mesto točk krivulje, ki se imenuje antinožiščna krivulja. To je po nastanku nožiščni krivulji podobna krivulja, ki je nastala tako, da se namesto tangente v definiciji uporabi pravokotnico.

Enostavneje se to pove, da je nožiščna krivulja geometrijsko mesto točk nožišč (presečišče pravokotnice in krivulje) pravokotnic od stalne točke z vsemi tangentami na dano krivuljo.

Pascalov polž — nožiščna krivulja krožnice.

Zgled

Kadar je krivulja $C\,$ krožnica, je nastala krivulja Pascalov polž, zanj pa se lahko reče, da je:

• nožniščna krivulja krožnice
• ovojnica krožnic, katere premer ima eno končno točko fiksirano, druga točka pa teče po krožnici
• ovojnica krožnic skozi stalno točko, njihova središča pa tečejo po krožnici
• krivulja ruleta, ki nastane s krožnico, ki drsi naokrog po krožnici z enakim polmerom

Nožiščna krivulja elipse

Opis nožniščne krivulje

Naj bo:

${\vec {v}}=P-R\!\,$

vektor s komponentama:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }\!\,,$

kjer je:

• ${\vec {v}}_{\parallel }$ tangentna komponenta
• ${\vec {v}}_{\perp }$ pravokotna komponenta

vektorja ${\vec {v}}\,$ glede na krivuljo.

Komponenta ${\vec {v}}_{\parallel }\,$ je vektor od $R\,$ do $X\,$.

Če se označi parameter krivulje s $c\,$, potem je parametrična oblika:

$t\mapsto c(t)+{\frac {c'(t)\cdot (P-c(t))}{|c'(t)|^{2}}}c'(t)\!\,.$

Parametrično nožniščno krivuljo s pedalno točko v (0,0) se lahko definira kot:

$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

$Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\!\,.$

Antinožiščno krivuljo pa se določi z:

$t\mapsto P-{\frac {c'(t)\cdot (P-c(t))}{|c'(t)|^{2}}}c'(t)\!\,.$

Za isto nožiščno točko je antinožiščna krivulja enaka nožniščni krivulji evolute dane krivulje.

dana krivulja	nožniščna točka	nožniščna krivulja	antinožnična krivulja
premica	poljubna	točka	vzporedni premici
krožnica	na obodu	srčnica	—
parabola	na osi	de Sluzejeva konhoida	—
parabola	na tangenti na vrhu	ofiurida	—
parabola	gorišče	premica	—
other stožnica	gorišče	krožnica	—
logaritemska spirala	pol	skladna logaritemska spirala	skladna logaritemska spirala
epicikloida hipocikloida	središče	vrtnica	vrtnica
involuta krožnice	središče krožnice	Arhimedova spirala	krožnica

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Nožiščna krivulja v Preseku (slovensko)
• Žužki (krivulje) in nožiščne krivulje (slovensko)
• Nožiščne krivulje (angleško)
• Kaj je nožiščna krivulja (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Pedal Curve«. MathWorld.
• Nožiščna krivulja (francosko)