Logaritemska spirala

Logaritemska spirala.
Rokavi spiralnih galaksij imajo obliko logaritemske spirale. Na sliki je galaksija Vrtinec.

Logaritemska spirala (tudi enakokotna spirala in spirala rasti) je vrsta spirale, ki se pogosto pojavlja v naravi.

Logaritemsko spiralo je prvi opisal francoski filozof, matematik, fizik, učenjak in častnik René Descartes (1596–1650), pozneje pa še švicarski matematik Jakob Bernoulli I. (1654–1705), ki jo je imenoval spira mirabilis (čudežna krivulja).

Logaritemska spirala v polarnih koordinatahUredi

V polarnem koordinatnem sistemu je:

 

ali:

 

kjer je:

Parametrična oblikaUredi

Parametrična oblika enačbe logaritemske spirale je:

 
 

kjer sta   in   realni konstanti.

ZnačilnostiUredi

  • kot   med tangento in premico v smeri polmera v točki   je konstanten.
  • od Arhimedove spirale se razlikuje v tem, da pri logaritemski spirali razdalje med posameznimi obrati tvorijo geometrijsko zaporedje, pri Arhimedovi spirali pa so konstantne.
  • logaritemska spirala je skladna sama s seboj pri vseh podobnostnih transformacijah. Skaliranje s faktorjem   da isti rezultat kot je original, samo brez vrtenja. Spirale so tudi skladne s svojimi evolventami, evolutami in nožiščnimi krivuljami.
  • če se nariše zlato spiralo (to je logaritemska spirala, ki raste navzven za faktorje enake zlatemu rezu za vsakih 90° vrtenja) ali kar je približno kot, da bi se uporabilo Fibonaccijeva števila.
  • če se prične pot v neki točki   in se giblje proti notranjosti spirale oziroma proti izhodišču, se naredi poljubno število obratov, ne da bi se doseglo izhodišče, pa pri tem pa se naredi končno pot. Skupna pot, ki se pri tem naredi, je enaka  , kjer je   razdalja točke   od izhodišča. To značilnost je odkril že italijanski fizik in matematik Evangelista Torricelli (1608 – 1647).

Splošna oblika logaritemske spirale [1]Uredi

Splošna oblika logaritemske spirale v polarnih koordinatah je:

 

kjer sta   in   realni števili. V tem obrazcu ni uporabljena osnova naravnih logaritmov  , ampak poljubna osnova  .

Logaritemska spirala v naraviUredi

V naravi je izredno veliko primerov, kjer se najde logaritemsko spiralo. Navedenih je le nekaj primerov:

Glej tudiUredi

SkliciUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Zlati rez (slovensko)
  • Logaritemske spirala na 2dcurves.com (angleško)
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Logarithmic Spiral". MathWorld (angleščina).
  • Logaritemska spirala na PlanethMath (angleško)
  • Logaritemska spirala v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquable (francosko)
  • Spirale na Spiralzoom (angleško)
  • Logaritemska spirala na JSXGraph (angleško)