Odpre glavni meni
Konstrukcija ovojnice družine krivulj.
Ovojnica krivulj

Ovójnica (tudi envelopa) je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici se lahko predstavlja kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto se to pove, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).

Ovojnica družine krivuljUredi

Naj bo vaka krivulja   v družini dana z  , kjer je   parameter. Zapiše se   in se predpostavi, da je   diferenciabilna.

Ovojnica družine   je definirana kot množica točk za katere je:

 

za vrednost  , kjer je:

  •   parcialni odvod funkcije   glede na  .[1]

Kadar za   in  , ki sta dve vrednosti parametra, velja  , potem je presečišče krivulj   in   dano z:

 

ali (kar je isto):

 

Naj gre   in dobi se zgornjo definicijo.

Druge definicijeUredi

  1. Ovojnica   je limita presečišč sosednjih krivulj  
  2. Ovojnica   je krivulja, ki je tangentna na vse  
  3. Ovojnica   je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami  .

Velja  ,   in  .

Ovojnica družine ploskevUredi

Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem evklidskem prostoru je dana z enačbo:

 

kjer je   realni parameter.[2]

Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima   in  , se sekata na skupni krivulji, ki je določena z:

 

Ko se   približuje  , ta krivulja v točki   prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi:

 

Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v  . Ko   spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki se imenuje ovojnica družine ploskev.

Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

  • Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0521429994 
  • Eisenhart, Luther P. (2008), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Schwarz Press, ISBN 1443731609 

Zunanje povezaveUredi