Srčnica

Sŕčnica (tudi kardioída) (iz starogrške besede starogrško καρδία, kar pomeni srce) je ravninska krivulja, ki nastane pri vrtenju krožnice po drugi negibni krožnici z enakim polmerom. Pri tem se spremlja negibna točka na gibajoči se krožnici.

Nastanek srčnice z vrtenjem krožnice po drugi krožnici.

Srčnica prikazana kot ovojnica krožnic, katerih središča ležijo na dani krožnici in gredo skozi stalno točko na dani krožnici.

Parametrična oblika enačbe

Parametrična oblika enačbe srčnice je:

$x=a(2\cos t-\cos 2t)\!\,,$

$y=a(2\sin t-\sin 2t)\!\,.$

To se v kompleksni ravnini lahko zapiše kot:

$z=a(2e^{it}-e^{2it})\!\,,$

kjer je:

• $a\,$ polmer krožnice, ki dela krivuljo. Negibna krožnica ima središče v koordinatnem izhodišču.

Točka, ki dela krivuljo, se krivulje dotika samo v eni točki, to je točka $(a,0)\,$, kjer ima krivulja konico.

Če se eliminira parameter $t\,$, je:

$(z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0\!\,,$

to pa je v pravokotnem koordinatnem sistemu:

$(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0\!\,.$

Enačbo se lahko tudi poenostavi tako, da se negibna krožnica premakne v desno, in se gibajoča se krožnica dotika negibne v izhodišču. To spremeni orientacijo krivulje tako, da je konica krivulje na levi strani. V tem primeru je parametrična oblika enačbe:

$x=a(1+2\cos t+\cos 2t)\!\,,$

$y=a(2\sin t+\sin 2t)\!\,.$

V kompleksni ravnini je to:

$z=a(1+2e^{it}+e^{2it})=a(1+e^{it})^{2}\!\,.$

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba srčnice:

$\left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\!\,.$

Povezave z drugimi krivuljami

• posebna oblika srčnice je krivulja polž
• srčnica je posebna oblika epicikloide
• srčnica je katakavstika krožnice z izvorom svetlobe na krožnici
• evoluta srčnice je druga srčnica

Značilnosti

• ploščina ploskve, ki jo zavzema srčnica, je enaka:

$p=6\pi a^{2}\!\,.$

To je 6 krat več kot je ploščina posameznega kroga, ki je sodeloval pri izdelavi srčnice.

• dolžina loka srčnice se lahko izračuna iz:

$L=16a\!\,.$

Kavstika

Nekatere kavstike imajo obliko srčnice.

Inverzna krivulja

Srčnica je inverzna krivulja parabole. Kadar se poišče inverzno krivuljo glede na krožnico, katere središče leži v gorišču parabole, se vedno dobi srčnica. Konica srčnice leži v središču krožnice.

Ni pa vsaka inverzna krivulja parabole srčnica. Na primer: če se poišče inverzno krivuljo za parabolo glede na krožnico, katere središče leži na vrhu parabole, se dobi Dioklesovo cisoido.

Zunanje povezave

• Srčnica (tudi animacije) (francosko)
• Kontrapedala ali ortokavstika (francosko)
• Weisstein, Eric W. "Cardioid". MathWorld.
• Srčnica (angleško)