Vrtnica (matematika)

Vrtnica (tudi rodoneja) je družina krivulj, ki so sinusoide narisane v polarnih koordinatah. Krivulje so si podobne, lahko jih podamo s pomočjo enačbe

Krivulja vrtnica s 7 listi (k = 7)
Krivulja vrtnica z 8 listi (k=4).
Vrtnice, ki so določene z , za različne vrednosti k=n/d.

kjer je celo število, ki določa obliko oziroma število listov, ki jih ima vrtnica, na naslednji način:

  • listov kadar je paren
  • listov kadar je neparen.

Ime rodoneja je krivulji dal rimskokatoliški duhovnik, filozof, matematik in inženir Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) med letoma 1723 in 1728 [1].

LastnostiUredi

  • Kadar se   konča z 0,5 (primeri 0,5, 2,5, ….) ima krivulja 4 liste.
  • Kadar se   konča z 1/3 ali 5/6 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2, 8,333333, …..) ima krivulja 12k listov
  • Kadar se   konča z 1/3 in je večji od 1 (primeri: 1,33334, 2,333334, ….) ima krivulja obliko vrtnice ter
    • ima 3k listov, če je   paren
    • ima 6k listov, če je   neparen
  • Kadar se   konča z 2/3 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2,66666667, …..) ima krivulja obliko vrtnice ter
    • ima 6k listov, če je   paren
    • ima 3k listov, če je   neparen
  • Kadar je   racionalno število je krivulja zaprta in ima končno dolžino.
  • kadar pa je   iracionalno število, je krivulja zaprta in ima neskončno dolžino.
  • Kadar je   paren, se bo krivulja izrisala točno enkrat, med tem, ko se bo   povečal od 0 do  .

PloščinaUredi

Če ima krivulja enačbo

 

kjer je

  •   pozitivno celo število, je za paren  

ploščina enaka

 

in je za neparen   enaka

 .

To velja tudi za vrtnice, ki so določene z enačbo

 .

Glej tudiUredi

Opombe in skliciUredi

Zunanje povezaveUredi