Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je v teoriji verjetnosti in statistiki nam za poljubno slučajno spremenljivko (zvezno ali nezvezno) pomaga določiti verjetnostno porazdelitev. Označujemo jo s $g(t)\!$. S pomočjo te funkcije lahko na enostaven način izračunamo momente.

Funkcija generiranja momentov nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo funkcije generiranja momentov je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo komplicirano funkcijo porazdelitve.

Definicija

Za diskretne (nezvezne) slučajne spremenljivke je funkcija generiranja momentov enaka:

$\ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{tX_{i}}$

Za zvezne slučajne spremenljivke:

$\ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx$.

kjer je

• $f(x)\!$ funkcija verjetnosti
• E je operator pričakovane vrednosti slučajne spremenljivke
• $p_{i}\!$ so verjetnosti

Računanje momentov

Posamezne momente lahko izračunamo na naslednji način:

$\ \mu _{1}={\frac {dg}{dt}}|_{t=0}=g'(0)$

$\ \mu _{2}={\frac {d^{2}g}{dt^{2}}}|_{t=0}=g''(0)$

$\ \ldots$

oziroma

$E\left(X^{n}\right)=g_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}g_{X}}{dt^{n}}}(0).$

Kadar funkcija obstoja za t = 0, potem nam omogoča generiranje momentov za verjetnostno porazdelitev. Zaradi tega se ta funkcija tudi imenuje funkcija generiranja momentov.

Povezava s kumulantami

Funkcijo generiranja momentov lahko napišemo kot:

$g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .$

Posamezne kumulante dobimo na naslednji način:

${\begin{aligned}\kappa _{1}&=\mu =g'(0),\\\kappa _{2}&=\sigma ^{2}=g''(0),\\&\vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0).\end{aligned}}$.

Povezava kumulant in momentov je naslednja:

$\kappa _{1}=\mu _{1}\,$

$\kappa _{2}=\mu _{2}\,$

$\kappa _{3}=\mu _{3}\,$

$\kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}\,$

$\kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{2}\mu _{3}\,$

Zgledi

porazdelitev	funkcija generiranja momentov g(t)	karakteristična funkcija φ(t)
binomska porazdelitev B(n, p)	$\,(1-p+pe^{t})^{n}$	$\,(1-p+pe^{it})^{n}$
Poissonova porazdelitev Pois(λ)	$\,e^{\lambda (e^{t}-1)}$	$\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)	$\,{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$	$\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
normalna porazdelitev N(μ, σ2)	$\,e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$	$\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
porazdelitev hi-kvadrat χ2k	$\,(1-2t)^{-k/2}$	$\,(1-2it)^{-k/2}$
porazdelitev gama Γ(k, θ)	$\,(1-t\theta )^{-k}$	$\,(1-it\theta )^{-k}$
eksponentna porazdelitev Exp(λ)	$\,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}$	$\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)	$\,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}$	$\,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}$
izrojena porazdelitev δa	$\,e^{ta}$	$\,e^{ita}$
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)	$\,{\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}}$	$\,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ)	ni določena	$\,e^{it\mu -\theta |t|}$

Glej tudi

• karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve
• standardizirani moment
• centralni moment