Porazdelitev hi-kvadrat

Porazdelitev hi-kvadrat je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Porazdelitev hi-kvadrat se pogosto uporablja pri statističnem testiranju hipotez ali pri kreiranju intervalov zaupanja.

Porazdelitev hi-kvadrat
Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
oznaka
parametri kN1prostostne stopnje
interval x ∈ [0, +∞)
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
pričakovana vrednost
mediana
modus max{ k − 2, 0 }
varianca
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
 
za | t | ≤ ½
karakteristična funkcija        [1]

Najbolj pogosto se porazdelitev hi-kvadrat v uporablja pri testu hi-kvadrat. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer porazdelitve gama.

DefinicijaUredi

Če so  ,  , …..  neodvisne slučajne spremenljivke, ki so normalno porazdeljene s pričakovano vrednostjo 0 in varianco 1, potem je slučajna spremenljivka

 

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s k prostostnimi stopnjami. To zapišemo kot

 .

LastnostiUredi

Funkcija gostote verjetnostiUredi

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev hi-kvadrat je

 

kjer je

Zbirna funkcija verjetnostiUredi

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 

kjer je

  •   spodnja nepopolna funkcija gama.
  •   regulirana funkcija gama.

Kadar je  , dobi funkcija enostavnejšo obliko:

 .

Pričakovana vrednostUredi

Pričakovana vrednost je enaka

 .

VariancaUredi

Varianca je enaka

  .

SploščenostUredi

Sploščenost je enaka

 

Funkcija generiranja momentovUredi

Funkcija generiranja momentov je    
za | t | ≤ ½

Karakteristična funkcijaUredi

Karakteristična funkcija je        

Opombe in referenceUredi

  1. M.A. Sanders. "Characteristic function of the central chi-square distribution" (PDF). Pridobljeno dne 6. marca 2009.

Povezave z drugimi porazdelitvamiUredi

  • Če so   neodvisne in normalno porazdeljene slučajne spremenljivke, da je  , potem ima
 

porazdeltev hi-kvadrat .

 .
  • Če velja   in  , potem ima slučajna spremenljivka
 

Fisherjevo porazdelitev s prostostnima stopnjama  .

Zunanje povezaveUredi

Glej tudiUredi