Porazdelitev gama je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev . Določena je z dvema parametroma, od katerih je prvi parameter merila , drugi pa parameter oblike .
Porazdelitev gama
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama.
Zbirna funkcija verjetnosti za porazdelitev gama.
oznaka
Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!}
Γ
(
k
,
θ
)
{\displaystyle \Gamma (k,\theta )\!}
parametri
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
parameter oblike
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0\,}
parameter merila
interval
x
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
funkcija gostote verjetnosti
x
k
−
1
exp
(
−
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
θ
k
{\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}
zbirna funkcija verjetnosti
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\!}
pričakovana vrednost
k
θ
{\displaystyle k\theta \!}
mediana nima enostavne oblike
modus
(
k
−
1
)
θ
za
k
≥
1
{\displaystyle (k-1)\theta {\text{ za }}k\geq 1\,\!}
varianca
k
θ
2
{\displaystyle k\theta ^{2}\,\!}
simetrija
2
k
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!}
sploščenost
6
k
{\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}
entropija
k
+
ln
θ
+
ln
Γ
(
k
)
{\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!}
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!}
funkcija generiranja momentov
(
1
−
θ
t
)
−
k
za
t
<
1
/
θ
{\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}{\text{ za }}t<1/\theta \,\!}
karakteristična funkcija
(
1
−
θ
i
t
)
−
k
{\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!}
Porazdelitev gama slučajne spremenljivke
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
Γ
(
k
,
θ
)
ali
X
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
.
{\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta ){\text{ ali }}X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta ).\,}
Opomba: po prvem načinu lahko zamenjamo funkcijo gama s porazdelitvijo in je zaradi tega bolj ugodna druga vrsta označevanja porazdelitve.
Funkcija verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama je
x
k
−
1
exp
(
−
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
θ
k
{\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}
kjer je
Porazdelitev gama lahko opišemo tudi s parametrom oblike
α
=
θ
{\displaystyle \alpha =\theta \!}
parametra merila
β
=
1
θ
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{\theta }}\!}
parameter stopnje .
V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka
g
(
x
;
α
,
β
)
=
β
α
Γ
(
α
)
x
α
−
1
e
−
β
x
za
x
>
0.
{\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta {x}}{\text{ za }}x>0.\,}
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Sploščenost je enaka
6
k
{\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}
Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Če ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
Gamma
(
k
=
1
,
θ
=
1
/
λ
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Gamma}}(k=1,\theta =1/\lambda )\,}
X
{\displaystyle X\!}
eksponencialno porazdelitev s parametrom merila λ.
Če za slučajno spremenljivko
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
Gamma
(
k
=
ν
/
2
,
θ
=
2
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Gamma}}(k=\nu /2,\theta =2)\,}
X
{\displaystyle X\!}
hi-kvadrat porazdelitev z
μ
{\displaystyle \mu \!}
Q
∼
χ
2
(
ν
)
{\displaystyle Q\sim {\chi }^{2}(\nu )\,}
c
{\displaystyle c\!}
c
⋅
Q
∼
Gamma
(
k
=
ν
/
2
,
θ
=
2
c
)
{\displaystyle c\cdot Q\sim {\textrm {Gamma}}(k=\nu /2,\theta =2c)\,}
Če za slučajno spremenljivko
X
{\displaystyle X\!}
X
2
∼
Gamma
(
3
/
2
,
2
a
2
)
{\displaystyle X^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(3/2,2a^{2})\,}
X
{\displaystyle X\!}
Boltzmannovo porazdelitev s parametrom
a
{\displaystyle a\!}
Kadar je slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
S
k
e
w
L
o
g
i
s
t
i
c
(
θ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,}
l
o
g
(
1
+
e
−
X
)
{\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\,}
l
o
g
(
1
+
e
−
X
)
∼
Γ
(
1
,
θ
)
{\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,}
Če se slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!}
1
/
X
{\displaystyle 1/X\!}
obratno gama porazdelitev s parametroma
k
{\displaystyle k\!}
θ
−
1
{\displaystyle \theta ^{-1}\!}
Če sta slučajni spremenljivki
X
{\displaystyle X\!}
Y
{\displaystyle Y\!}
X
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!}
Y
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
{\displaystyle Y\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!}
X
X
+
Y
{\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\!}
beta porazdelitev s parametroma
α
{\displaystyle \alpha \!}
β
{\displaystyle \beta \!}
Če so slučajne spremenljivke
X
j
{\displaystyle X_{j}\!}
Gamma
(
α
j
,
θ
)
{\displaystyle {\textrm {Gamma}}(\alpha _{j},\theta )\!}
vektor
(
X
1
S
,
…
,
X
n
S
)
{\displaystyle ({\frac {X_{1}}{S}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{S}})\!}
kjer je
S
=
X
1
+
X
2
+
…
+
X
n
{\displaystyle S=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\!}
Diricheltovi porazdelitvi s parametri
α
1
…
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1}\ldots ,\alpha _{n}\!}
