Laplaceova porazdelitev [laplásova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev , ki je določena z dvema parametroma. Včasih jo imenujejo tudi dvojna eksponentna porazdelitev , ker je ta porazdelitev pravzaprav razlika med dvema eksponentnima porazdelitvama .
Laplaceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Laplaceovo porazdelitev Zbirna funcija za Laplaceovo porazdelitev. oznaka
L a p l a c e ( μ , b ) {\displaystyle Laplace(\mu ,b)\!}
parametri μ {\displaystyle \mu \,} parameter lokacije (realno število )b > 0 {\displaystyle b>0\,} parameter merila (realno število)
interval x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,} funkcija gostote verjetnosti 1 2 b exp ( − | x − μ | b ) {\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,} zbirna funkcija verjetnosti glej opis lastnoti
pričakovana vrednost μ {\displaystyle \mu \,} mediana μ {\displaystyle \mu \,} modus μ {\displaystyle \mu \,} varianca 2 b 2 {\displaystyle 2\,b^{2}} simetrija 0 {\displaystyle 0\,} sploščenost 3 {\displaystyle 3\,} entropija log ( 2 e b ) {\displaystyle \log(2\,e\,b)} funkcija generiranja momentov exp ( μ t ) 1 − b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!} | t | < 1 / b {\displaystyle |t|<1/b\,} karakteristična funkcija exp ( μ i t ) 1 + b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}
Imenuje se po francoskem matematiku in astronomu Pierre-Simonu de Laplaceu (1749 – 1827).
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je
f ( x | μ , b ) = 1 2 b exp ( − | x − μ | b ) {\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!} to je
= 1 2 b { exp ( − μ − x b ) če je x < μ exp ( − x − μ b ) če je x ≥ μ {\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.} Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( u ) d u {\displaystyle F(x)\,=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u} to je
= { 1 2 exp ( x − μ b ) če je x < μ 1 − 1 2 exp ( − x − μ b ) če je x ≥ μ {\displaystyle =\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.} ali
0 , 5 [ 1 + sgn ( x − μ ) ( 1 − exp ( − | x − μ | / b ) ) ] . {\displaystyle 0,5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].} Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
μ {\displaystyle \mu \,} Varianca je enaka
2 b 2 {\displaystyle 2\,b^{2}} Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov je
exp ( μ t ) 1 − b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!} | t | < 1 / b {\displaystyle |t|<1/b\,} Karakteristična funkcija
uredi
Karakteristična funkcija je
exp ( μ i t ) 1 + b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!} Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Če ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} X ∼ L a p l a c e ( 0 , b ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (0,b)\,} | X | {\displaystyle |X|\!} eksponentno porazdelitev , kar zapišemo takole | X | ∼ E x p ( b − 1 ) {\displaystyle |X|\sim \mathrm {Exp} (b^{-1})\,} Če imamo dve slučajni spremenljivki, ki imata eksponentno porazdelitev X 1 ∼ E x p ( λ 1 ) {\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1})\,} X 2 ∼ E x p ( λ 2 ) {\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{2})\,} X 2 {\displaystyle X_{2}\!} X 1 {\displaystyle X_{1}\,} λ 1 X 1 − λ {\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda \!} λ 1 X 1 − λ 2 X 2 ∼ L a p l a c e ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}X_{2}\sim \mathrm {Laplace} \left(0,1\right)\,} Če ima slučajna spremenljivka V {\displaystyle V\!} eksponentno porazdelitev V ∼ E x p ( 1 ) {\displaystyle V\sim \mathrm {Exp} (1)\,} V {\displaystyle V\!} Z {\displaystyle Z\!} normalno porazdelitev Z ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim \mathrm {N} (0,1)\,} X = μ + b 2 V Z {\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\!} X ∼ L a p l a c e ( μ , b ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)\!} Zunanje povezave
uredi
![{\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd6db700edf8dfc57be0da38f1872a6d6857a8e)
![{\displaystyle =\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d09a51a12f6a46720650a98765009c4e57d6e)
![{\displaystyle 0,5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901514cd7179d16bf6cced2b9815ee75613fdb92)
