Laplaceova porazdelitev [laplásova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev , ki je določena z dvema parametroma. Včasih jo imenujejo tudi dvojna eksponentna porazdelitev , ker je ta porazdelitev pravzaprav razlika med dvema eksponentnima porazdelitvama .
Laplaceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Laplaceovo porazdelitev
Zbirna funcija za Laplaceovo porazdelitev.
oznaka
L
a
p
l
a
c
e
(
μ
,
b
)
{\displaystyle Laplace(\mu ,b)\!}
parametri
μ
{\displaystyle \mu \,}
parameter lokacije (realno število )
b
>
0
{\displaystyle b>0\,}
parameter merila (realno število)
interval
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,}
funkcija gostote verjetnosti (pdf)
1
2
b
exp
(
−
|
x
−
μ
|
b
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
glej opis lastnoti
pričakovana vrednost
μ
{\displaystyle \mu \,}
mediana
μ
{\displaystyle \mu \,}
modus
μ
{\displaystyle \mu \,}
varianca
2
b
2
{\displaystyle 2\,b^{2}}
simetrija
0
{\displaystyle 0\,}
sploščenost
3
{\displaystyle 3\,}
entropija
log
(
2
e
b
)
{\displaystyle \log(2\,e\,b)}
funkcija generiranja momentov (mgf)
exp
(
μ
t
)
1
−
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!}
za
|
t
|
<
1
/
b
{\displaystyle |t|<1/b\,}
karakteristična funkcija
exp
(
μ
i
t
)
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}
Imenuje se po francoskem matematiku in astronomu Pierre-Simonu de Laplaceu (1749 – 1827).
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je
f
(
x
|
μ
,
b
)
=
1
2
b
exp
(
−
|
x
−
μ
|
b
)
{\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}
to je
=
1
2
b
{
exp
(
−
μ
−
x
b
)
če je
x
<
μ
exp
(
−
x
−
μ
b
)
če je
x
≥
μ
{\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle F(x)\,=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u}
to je
=
{
1
2
exp
(
x
−
μ
b
)
če je
x
<
μ
1
−
1
2
exp
(
−
x
−
μ
b
)
če je
x
≥
μ
{\displaystyle =\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{če je }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}
ali
0
,
5
[
1
+
sgn
(
x
−
μ
)
(
1
−
exp
(
−
|
x
−
μ
|
/
b
)
)
]
.
{\displaystyle 0,5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].}
Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
μ
{\displaystyle \mu \,}
.
Varianca je enaka
2
b
2
{\displaystyle 2\,b^{2}}
.
Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov je
exp
(
μ
t
)
1
−
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!}
za
|
t
|
<
1
/
b
{\displaystyle |t|<1/b\,}
.
Karakteristična funkcija
uredi
Karakteristična funkcija je
exp
(
μ
i
t
)
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}
.
Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Če ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
Laplaceovo porazdelitev
X
∼
L
a
p
l
a
c
e
(
0
,
b
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (0,b)\,}
, potem ima spremenljivka
|
X
|
{\displaystyle |X|\!}
eksponentno porazdelitev , kar zapišemo takole
|
X
|
∼
E
x
p
(
b
−
1
)
{\displaystyle |X|\sim \mathrm {Exp} (b^{-1})\,}
.
Če imamo dve slučajni spremenljivki, ki imata eksponentno porazdelitev
X
1
∼
E
x
p
(
λ
1
)
{\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1})\,}
in
X
2
∼
E
x
p
(
λ
2
)
{\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{2})\,}
in je
X
2
{\displaystyle X_{2}\!}
neodvisna od
X
1
{\displaystyle X_{1}\,}
, potem ima slučajna spremenljivka
λ
1
X
1
−
λ
{\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda \!}
Laplaceovo porazdelitev
λ
1
X
1
−
λ
2
X
2
∼
L
a
p
l
a
c
e
(
0
,
1
)
{\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}X_{2}\sim \mathrm {Laplace} \left(0,1\right)\,}
.
Če ima slučajna spremenljivka
V
{\displaystyle V\!}
eksponentno porazdelitev
V
∼
E
x
p
(
1
)
{\displaystyle V\sim \mathrm {Exp} (1)\,}
in ima od
V
{\displaystyle V\!}
neodvisna slučajna spremenljivka
Z
{\displaystyle Z\!}
normalno porazdelitev
Z
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle Z\sim \mathrm {N} (0,1)\,}
, potem ima slučajna spremenljivka
X
=
μ
+
b
2
V
Z
{\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\!}
Lapleceovo porazdelitev
X
∼
L
a
p
l
a
c
e
(
μ
,
b
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)\!}
.