Slučajna spremenljivka

Slučajna spremenljivka je količina, ki nastopi kot rezultat poskusa (dogodka), kjer je možnih več izidov. Pri tem pa pojavitev katerekoli vrednosti iz danega območja predstavlja slučajno vrednost. Pojem slučajna spremenljivka se uporablja v statistiki in za opisovanje stohastičnih pojavov.

Poznamo dva pomembna razreda slučajnih spremenljivk, diskretne in zvezne slučajne spremenljivke. Obstajajo pa tudi slučajne spremenljivke, ki niso ne diskretne ne zvezne.

Definicija

Slučajna spremenljivka $X$ na verjetnostnem prostoru $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ je merljiva funkcija $X:\Omega \to \mathbb {R}$, za katero velja $\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x\}\in {\mathcal {F}}$ za vse $x\in \mathbb {R}$. Slučajna spremenljivka se pogosto označuje z velikimi latiničnimi črkami, kot so $X,Y,Z,T$.

Porazdelitvena funkcija verjetnosti $F(x)$ slučajne spremenljivke $X$ je funkcija, ki vsaki realni vrednosti $x\in \mathbb {R}$ priredi verjetnost dogodka $X\leq x$. To pomeni, da velja:

$F(x)=P(X\leq x),\quad x\in \mathbb {R}$.

Za porazdelitveno funkcijo velja ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$ in ${\textstyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$, kakor tudi to, da je nepadajoča funkcija.

Diskretne slučajne spremenljivke

Porazdelitveni zakon diskretne slučajne spremenljivke se imenuje diskretna porazdelitev. Kadar za diskretno slučajno spremenljivko $X$ poznamo porazdelitveni zakon, ga zapišemo v obliki:

$X:{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}...&x_{k}...&x_{n}\\p_{1}&p_{2}...&p_{k}...&p_{n}\end{pmatrix}},$

kjer je $P(X=x_{i})=p_{i}$. Pri tem velja: ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$ in $p_{i}\geq 0$ za vse $i$. Ta oblika zakona velja za diskretne slučajne spremenljivke, ki zavzamejo končno mnogo vrednosti. V primeru diskretnih slučajnih spremenljivk, ki zavzamejo neskončno mnogo vrednosti, recimo $(x_{1},x_{2},...)$, verjetnostno porazdelitev lahko podamo z eksplicitnim predpisom vrednosti $P(X=x_{k})$ za vse $k$.

Bernoullijeve slučajne spremenljivke

Slučajnim spremenljivkam z vrednostmi v $\{0,1\}$ pravimo Bernoullijeve slučajne spremenljivke ali indikatorji. Naj bo $p\in [0,1],\;q=1-p$. Označimo $X\sim {\text{Bernoulli}}(p)$.

$P(X=1)=p$

$P(X=0)=q$

Primer: V mrzlem jutru bo avto vžgal z verjetnostjo $p$.

Geometrijska porazdelitev

Pravimo, da ima X geometrijsko porazdelitev s parametrom p є [0, 1](q = 1 - p), če velja

• Slika(X) = {1,2,...} in

• P(X = k) = pq^k-1 za vse k = 1,2,3...

Označimo X ~ Geom(p). Spet dobimo verjetnostno porazdelitev, saj je

$\sum _{k=1}^{\infty }pq^{k-1}=p\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {p}{1-q}}=1.$

(Da bo druga enakost veljala tudi v primeru p=1, se zedinimo, da je 0⁰ = 1.)

Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke je funkcija F(x), določena z

$F(x)=\sum _{x_{i}\leq x}p_{i}.$

Zvezne slučajne spremenljivke

Definicija : Slučajna spremenljivka X je zvezna, če njeno porazdelitveno funkcijo F_x lahko zapišemo v obliki

$F_{x}(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_{x}(u)du,$

kjer je f_x ≥ 0 nenegativna funkcija. Taki funkciji f_x pravimo gostota slučajne spremenljivke X.

Za gostoto f_x velja, da je f_x (x) = F^'_x (x), če odvod F_x v točki x obstaja. V točkah x, kjer odvod ne obstaja, pa je gostota enaka f_x (x) = 0.

Zgled: Enakomerna porazdelitev na intervalu

Enakomerna porazdelitev na intervalu [a,b] ima gostoto

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{za }}a<x<b;\\0,&{\text{sicer.}}\end{cases}}$

in porazdelitveno funkcijo

$F(x)={\begin{cases}0,&{\text{za }}x<a;\\{\frac {x-a}{b-a}},&{\text{za }}a\leq x\leq b;\\1,&{\text{za }}x>b.\end{cases}}$

Zgled: Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev s parametrom λ > 0 ima gostoto

$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{za }}x\leq 0;\\\lambda e^{-\lambda x},&{\text{za }}x>0.\end{cases}}$

in porazdelitveno funkcijo

$F(x)={\begin{cases}0,&{\text{za }}x\leq 0;\\1-e^{-\lambda x},&{\text{za }}x>0.\end{cases}}$

Zgled: Splošna normalna porazdelitev

Podana formula predstavlja funkcijo gostoto verjetnosti.

$\varphi _{\mu {,}\sigma ^{2}}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}$

za vse x-e, ki so v množici realnih števil.

Normalno porazdelitev označimo z N(μ,σ²). V primeru μ = 0, σ = 1 jo imenujemo standardna normalna porazdelitev. Standardna normalna porazdelitev je porazdelitev vrednosti s povprečjem (aritmetično sredino) 0 in standardnim odklonom 1.