Binomska porazdelitev

Binomska porazdelitev
Funkcija verjetnosti binomske porazdelitve
Zbirna funkcija verjetnosti binomske porazdelitve
(barve so enake kot na zgornji sliki)
oznaka porazdelitve B(n, p)
parametri nN (naravna števila) število poskusov
p ∈ [0,1] — verjetnost uspeha pri poskusu
interval k ∈ { 0, …, n }
funkcija verjetnosti
(pdf)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
pričakovana vrednost np
mediana np⌋ ali ⌈np
modus ⌊(n + 1)p⌋ ali ⌊(n + 1)p⌋ − 1
varianca np(1 − p)
simetrija
sploščenost
(eksces)
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija
Opomba: Oznaka pomeni spodnji celi del števila (floor),
pa zgornji celi del števila (ceiling)

Binomska porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev n uspešnih izidov zaporednih neodvisnih poskusov, kjer sta možna samo dva izida da in ne. Takšno vrsto neodvisnih poskusov imenujemo Bernoullijevi poskusi, sam postopek pa Bernoullijev postopek. Binomsko porazdelitev določata dva parametra:

  • število poskusov (v poskusu se lahko zgodi dogodek da (uspešni dogodek) ali njemu nasprotni dogodek ne)
  • verjetnost p, da se v poskusu zgodi dogodek da

Verjetnost, da se v zaporedju n-tih poskusov zgodi dogodek da, k-krat, izračunamo po obrazcu .

Binomske porazdelitve ne smemo zamenjati z bimodalno porazdelitvijo.

LastnostiUredi

Funkcija verjetnostiUredi

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

 

kjer je

  •   binomski koeficient
  •   verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost k


Zbirna funkcija verjetnostiUredi

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko zapišemo kot

 

Če vpeljemo nepopolno funkcijo beta

 

in pripadajočo regulirano nepopolno beta funkcijo

 

potem lahko zbirno funkcijo verjetnosti zapišemo kot

 

Pričakovana vrednostUredi

Pričakovana vrednost je enaka np.

VariancaUredi

Varianca je enaka np(1 − p).

Koeficient simetrijeUredi

Koeficient simetrije je enak  .

MedianaUredi

Mediana je enaka ⌊np⌋ ali ⌈np⌉.

SploščenostUredi

Sploščenost je enaka  .

Povezava z Bernoullijevo porazdelitvijoUredi

Kadar je n = 1 dobimo Bernoullijevo porazdelitev.

Glej tudiUredi