Binomska porazdelitev
Binomska porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev n uspešnih izidov zaporednih neodvisnih poskusov, kjer sta možna samo dva izida da in ne. Takšno vrsto neodvisnih poskusov imenujemo Bernoullijevi poskusi, sam postopek pa Bernoullijev postopek. Binomsko porazdelitev določata dva parametra:
- število poskusov (v poskusu se lahko zgodi dogodek da (uspešni dogodek) ali njemu nasprotni dogodek ne)
- verjetnost p, da se v poskusu zgodi dogodek da
Binomska porazdelitev | ||
---|---|---|
![]() | ||
![]() (barve so enake kot na zgornji sliki) | ||
oznaka porazdelitve | B(n, p) | |
parametri | n ∈ N (naravna števila) število poskusov p ∈ [0,1] — verjetnost uspeha pri poskusu | |
interval | k ∈ { 0, …, n } | |
funkcija verjetnosti (pdf) |
||
zbirna funkcija verjetnosti (cdf) |
||
pričakovana vrednost | np | |
mediana | ⌊np⌋ ali ⌈np⌉ | |
modus | ⌊(n + 1)p⌋ ali ⌊(n + 1)p⌋ − 1 | |
varianca | np(1 − p) | |
simetrija | ||
sploščenost (eksces) |
||
entropija | ||
funkcija generiranja momentov (mgf) |
||
karakteristična funkcija | ||
Opomba: Oznaka pomeni spodnji celi del števila (floor), pa zgornji celi del števila (ceiling) |
Verjetnost, da se v zaporedju n-tih poskusov zgodi dogodek da, k-krat, izračunamo po obrazcu .
Binomske porazdelitve ne smemo zamenjati z bimodalno porazdelitvijo.
Lastnosti uredi
Funkcija verjetnosti uredi
Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot
kjer je
- binomski koeficient
- verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost k
Zbirna funkcija verjetnosti uredi
Zbirno funkcijo verjetnosti lahko zapišemo kot
Če vpeljemo nepopolno funkcijo beta
in pripadajočo regulirano nepopolno beta funkcijo
potem lahko zbirno funkcijo verjetnosti zapišemo kot
Pričakovana vrednost uredi
Pričakovana vrednost je enaka np.
Varianca uredi
Varianca je enaka np(1 − p).
Koeficient simetrije uredi
Koeficient simetrije je enak .
Mediana uredi
Mediana je enaka ⌊np⌋ ali ⌈np⌉.
Sploščenost uredi
Sploščenost je enaka .
Povezava z Bernoullijevo porazdelitvijo uredi
Kadar je n = 1 dobimo Bernoullijevo porazdelitev.