Binomska porazdelitev

Binomska porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev n uspešnih izidov zaporednih neodvisnih poskusov, kjer sta možna samo dva izida da in ne. Takšno vrsto neodvisnih poskusov imenujemo Bernoullijevi poskusi, sam postopek pa Bernoullijev postopek. Binomsko porazdelitev določata dva parametra:

• število poskusov (v poskusu se lahko zgodi dogodek da (uspešni dogodek) ali njemu nasprotni dogodek ne)
• verjetnost p, da se v poskusu zgodi dogodek da

Binomska porazdelitev
Funkcija verjetnosti binomske porazdelitve
Zbirna funkcija verjetnosti binomske porazdelitve (barve so enake kot na zgornji sliki)
oznaka porazdelitve	B(n, p)
parametri	n ∈ N (naravna števila) število poskusov p ∈ [0,1] — verjetnost uspeha pri poskusu
interval	k ∈ { 0, …, n }
funkcija verjetnosti (pdf)	$\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
pričakovana vrednost	np
mediana	⌊np⌋ ali ⌈np⌉
modus	⌊(n + 1)p⌋ ali ⌊(n + 1)p⌋ − 1
varianca	np(1 − p)
simetrija	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
sploščenost (eksces)	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
entropija	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
karakteristična funkcija	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$
Opomba: Oznaka $\lfloor \rfloor$ pomeni spodnji celi del števila (floor), $\lceil \rceil$ pa zgornji celi del števila (ceiling)

Verjetnost, da se v zaporedju n-tih poskusov zgodi dogodek da, k-krat, izračunamo po obrazcu $\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$.

Binomske porazdelitve ne smemo zamenjati z bimodalno porazdelitvijo.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

$\Pr(K=k)=f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

kjer je

• ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ binomski koeficient
• $\Pr(K=k)$ verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost k

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko zapišemo kot

$F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

Če vpeljemo nepopolno funkcijo beta

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!$

in pripadajočo regulirano nepopolno beta funkcijo

$I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!$

potem lahko zbirno funkcijo verjetnosti zapišemo kot

${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka np.

Varianca

Varianca je enaka np(1 − p).

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak ${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$.

Mediana

Mediana je enaka ⌊np⌋ ali ⌈np⌉.

Sploščenost

Sploščenost je enaka ${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$.

Povezava z Bernoullijevo porazdelitvijo

Kadar je n = 1 dobimo Bernoullijevo porazdelitev.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev