Heronova formula

Heronova formula (tudi Heronova enačba ali Heronov obrazec) je v ravninski geometriji formula za računanje ploščine trikotnika s podanimi stranicami, brez uporabe velikosti kotov. Poimenovana je po Heronu Aleksandrijskemu.[1]

Trikotnik s stranicami a, b in c

FormulacijaUredi

Heronova formula pravi, da je površina trikotnika s stranicami  ,   in   enaka

 

kjer je   polovica obsega trikotnika;

 [2]

Heronovo formulo lahko zapišemo tudi kot

 
 
 
 
 

ZgledUredi

Naj bo   trikotnik s stranicami  ,   in  . Polovica obsega   tega trikotnika je

 ,

ploščina pa je

 

V tem zgledu so stranice in ploščina cela števila, zaradi česar dani trikotnik imenujemo Heronski trikotnik. Kljub temu Heronova formula deluje za poljuben trikotnik.

ZgodovinaUredi

Formula je pripisana Heronu Aleksandrijskemu, njen dokaz najdemo v njegovi knjigi Metrica, napisani okoli leta 60. Domneva se, da je Arhimed formulo poznal že dve stoletji prej.[3] Metrica je namreč zbirka matematičnega znanja iz antičnega sveta in zato je možno, da je da je bila formula odkrita že prej.

Formulo ekvivalentno Heronovi

 

so neodvisno od Grkov odkrili Kitajci. Objavljena je bila v Matimatičnem učbeniku v devetih poglavjih (Qin Jiushao, 1247).[4]

DokaziUredi

V originalnem dokazu je Heron uporabil tetivne štirikotnike.  Drugi dokazi se oslanjajo na trigonometrijo, trikotniku včrtano in očrtano krožnico,[5] ali pa na De Guajev izrek (za poseben primer ostrokotnih trikotnikov).[6]

Trigonometrični dokaz z uporabo kosinusnega izrekaUredi

Sledeči sodoben algebraični dokaz se precej razlikuje od Heronovega (Metrica).[7] Naj bodo  ,   in   stranice trikotnika in  ,  ,   pripadajoči koti. Z uporabo kosinusnega izreka dobimo

 .

S preoblikovanjem tega izraza dobimo

 

Višina trikotnika na stranico   ima dolžino  , sledi:

 

Na dveh mestih je bilo v dokazu je uporabljeno pravilo za razcep razlike kvadratov:  .

Algebaični dokaz z uporabo Pitagorovega izrekaUredi

 
Trikotnik z višino  , ki razdeli stranico   na  

Naslednji dokaz je zelo podoben dokazu, ki ga je objavil Raifaizen.[8] Po Pitagorovem izreku je   in   (glej skico na desni). Izraza odštejemo in dobimo  . Ta enačba nam omogoča, da   izrazimo s stranicami trikotnika:

 

Za višino trikotnika velja   . Ko iz zgornje formule vstavimo   in uporabimo pravilo za razcep razlike kvadratov dobimo

 

Ta rezultat zdaj uporabimo v formuli, ki ploščino podaja kot polovico produkta med stranico in pripadajočo višino:

 

Trigonometrični dokaz s Kotangensnim zakonomUredi

 
Geometrijski pomen sa, sb in sc . Za obrazložitev glej Kotangensni zakon.

Iz prvega dela kotangensnega zakona[9] dobimo, da za ploščino trikotnika velja

 

ter  . Ker je vsota polovičnih kotov enaka  , velja  . Iz prve enačbe zato sledi

 

Ko združimo obe enačbi, dobimo

 

Numerična stabilnostUredi

Heronova formula, kot je podana zgoraj, je numerično nestabilna za trikotnike z zelo majhnim kotom pri uporabi aritmetike s plavajočo vejico. Za stabilno alternativo[10][11] uredimo stranice tako, da velja  , in izračunamo

 

Oklepaji v zgornji formuli preprečujejo numerično nestabilnost pri računanju.

Druge formule za ploščino, ki spominjajo na Heronovo formuloUredi

Obstajajo tri druge formule za ploščino z enako strukturo kot Heronova formula, izražene z različnimi količinami. Težiščnice trikotnika s stranicami  ,   in   po vrsti označimo s  ,   in  . Težiščnice seštejemo, in polovico vsote   označimo s  .[12] Velja:

 

Nato označimo višine na stranice kot  ,   in  . Označimo tudi polovico vsote nasprotnih vrednosti teh višin:  .[13] Dobimo

 

Na koncu polovično vsoto sinusov kotov označimo kot  . Dobimo[14]

 

kjer je   premer včrtane krožnice:  .

PosplošitveUredi

Heronova formula je poseben primer Brahmaguptine formule, za računanje ploščin tetivnih štirikotnikov. Heronova formula in Brahmaguptina formula pa sta posebna primera Bretschneiderjeve formule za ploščino poljubnega štirikotnika. Heronovo formulo lahko dobimo iz Brahmaguptine formule ali Bretschneiderjeve formule tako, da eno od stranic štirikotnika nastavimo na nič.

Heronova formula je tudi poseben primer formule za ploščino trapeza, izračunano zgolj iz stranic. Heronovo formulo dobimo tako, da krajšo osnovnico nastavimo na nič.

Izražanje Heronove formule s Cayley-Mengerjevo determinanto kot kvadrati razdalj med tremi presečišči,[15]

 

ponazarja njeno podobnost s Tartagliovo enačbo za prostornino tetraedra.

David P. Robbins je odkril še eno posplošitev Heronove formule na včrtane petkotnike in šestkotnike.[16]

Heronska formula za prostornino tetraedraUredi

Če so  ,  ,  ,  ,  ,   po vrsti robovi tetraedra (prvi trije tvorijo trikotnik ter   leži nasproti  , in tako naprej), potem je[17]

 

kjer so

 

Sklici in referenceUredi

  1. "fórmula de Herón". recursostic.educacion.es. Pridobljeno dne 2021-07-01.
  2. Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?". Amer. Math. Monthly. 107: 402–415. doi:10.2307/2695295.
  3. Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. II. Oxford University Press. str. 321–323.
  4. 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本).
  5. "Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle". 15 December 1997. Pridobljeno dne 25 September 2020.
  6. Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula". The Mathematical Intelligencer (angleščina). doi:10.1007/s00283-020-09996-8. ISSN 0343-6993.
  7. Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. str. 7–8.
  8. Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44: 27–28.
  9. The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.
  10. Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st izd.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3.
  11. William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).
  12. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
  13. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  14. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  15. Weisstein, Eric W. "Cayley-Menger Determinant". mathworld.wolfram.com (angleščina). Pridobljeno dne 2021-07-01.
  16. D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
  17. W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.

Zunanje povezave (v angleščini)Uredi