Študentova t porazdelitev

(Preusmerjeno s strani Studentova t-porazdelitev)

Študentova t porazdelitev (tudi t porazdelitev ali Studentova t porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Študentova t porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za študentovo t porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za študentovo t porazdelitev.
oznaka
tudi
parametri prostostne stopnje (realno število)
interval
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)

kjer je hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost ,
drugje je nedefinirana
mediana
modus
varianca ,
za ,
drugje nedefinirana
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(ni definirana)
karakteristična funkcija

Študentovo t porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876 – 1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Študent (Student). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

DefinicijaUredi

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

 

kjer ima

Lastnosti t porazdelitveUredi

Funkcija gostote verjetnostiUredi

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

 .

kjer je

  •   funkcija gama.
  •   so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je   parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

 

Kadar pa je   neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

 

Zbirna funkcija verjetnostiUredi

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 

kjer je

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

 

kjer je

  •  .
  •   nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednostUredi

Pričakovana vrednost je enaka

 

drugje je nedefinirana.

VariancaUredi

Varianca je enaka

 ,
  za  ,
drugje je nedefinirana.

SploščenostUredi

Sploščenost je enaka

 .

Funkcija generiranja momentovUredi

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvamiUredi

  • Slučajna spremenljivka   ima F porazdelitev   kadar je   in ima slučajna spremenljivka   Študentovo t porazdelitev  .
  • Slučajna spremenljivka   ima normalno porazdelitev  , ko velja   in ima slučajna spremenljivka   t porazdelitev  .
  • Slučajna spremenljivka   ima Cauchyjevo porazdelitev  , kadar ima   t porazdelitev  .

Opombe in skliciUredi

  1. Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95

Zunanje povezaveUredi

Glej tudiUredi