Studentova t-porazdelitev

Studentova t-porazdelitev (tudi t-porazdelitev ali Študentova t-porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Student's t
parametri prostostne stopnje (realno število)
Interval
gostota verjetnosti (pdf)
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)

where 2F1 is the hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost 0 for , drugje je nedefinirana
mediana 0
modus 0
varianca for , ∞ for , drugje je nedefinirana
nesimetričnost 0 for , drugje je nedefinirana
sploščenost for , ∞ for , drugje je nedefinirana
entropija

funkcija generiranja momentov (mgf) ni definirana
karakteristična funkcija

for

Studentovo t-porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876–1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Student (študent). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija uredi

Studentova t-porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

 

kjer ima

Lastnosti t porazdelitve uredi

Funkcija gostote verjetnosti uredi

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

 .

kjer je

  •   funkcija gama.
  •   so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je   parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

 

Kadar pa je   neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

 

Zbirna funkcija verjetnosti uredi

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 

kjer je

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

 

kjer je

  •  .
  •   nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost uredi

Pričakovana vrednost je enaka

 

drugje je nedefinirana.

Varianca uredi

Varianca je enaka

 ,
  za  ,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost uredi

Sploščenost je enaka

 .

Funkcija generiranja momentov uredi

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami uredi

  • Slučajna spremenljivka   ima F porazdelitev   kadar je   in ima slučajna spremenljivka   Studentovo t-porazdelitev  .
  • Slučajna spremenljivka   ima normalno porazdelitev  , ko velja   in ima slučajna spremenljivka   t porazdelitev  .
  • Slučajna spremenljivka   ima Cauchyjevo porazdelitev  , kadar ima   t porazdelitev  .

Opombe in sklici uredi

  1. Hurst, Simon. »The Characteristic Function of the Student t Distribution«. Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 18. februarja 2010.

Zunanje povezave uredi

Glej tudi uredi