Studentova t-porazdelitev (tudi t-porazdelitev ali Študentova t-porazdelitev ) je zvezna verjetnostna porazdelitev .
Student's t
parametri
ν > 0 {\displaystyle \nu >0} prostostne stopnje (realno število ) Interval
x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )} gostota verjetnosti (pdf)
Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!} zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
1 2 + x Γ ( ν + 1 2 ) × 2 F 1 ( 1 2 , ν + 1 2 ; 3 2 ; − x 2 ν ) π ν Γ ( ν 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}
where 2 F 1 is the hipergeometrična funkcija pričakovana vrednost
0 for ν > 1 {\displaystyle \nu >1} , drugje je nedefinirana mediana
0 modus
0 varianca
ν ν − 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}} for ν > 2 {\displaystyle \nu >2} , ∞ for 1 < ν ≤ 2 {\displaystyle 1<\nu \leq 2} , drugje je nedefinirana nesimetričnost
0 for ν > 3 {\displaystyle \nu >3} , drugje je nedefinirana sploščenost
6 ν − 4 {\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}} for ν > 4 {\displaystyle \nu >4} , ∞ for 2 < ν ≤ 4 {\displaystyle 2<\nu \leq 4} , drugje je nedefinirana entropija
ν + 1 2 [ ψ ( 1 + ν 2 ) − ψ ( ν 2 ) ] + ln [ ν B ( ν 2 , 1 2 ) ] (nats) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}}
funkcija generiranja momentov (mgf)
ni definirana karakteristična funkcija
K ν / 2 ( ν | t | ) ⋅ ( ν | t | ) ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ν / 2 − 1 {\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}} for ν > 0 {\displaystyle \nu >0}
Studentovo t-porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876–1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Student (študent). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu . Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva . Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.
Definicija
uredi
Studentova t-porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja
Z V / ν = Z ν / V {\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}} kjer ima
Lastnosti t porazdelitve
uredi
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je
Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ( ν + 1 2 ) {\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!} .kjer je
Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)\!} funkcija gama .
ν {\displaystyle \nu } so prostostne stopnje porazdelitveKadar je ν {\displaystyle \nu } parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka
Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) = ( ν − 1 ) ( ν − 3 ) ⋯ ( 5 ) ( 3 ) 2 ν ( ν − 2 ) ( ν − 4 ) ⋯ ( 4 ) ( 2 ) . {\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)\,}}.} Kadar pa je ν {\displaystyle \nu } neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka
Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) = ( ν − 1 ) ( ν − 3 ) ⋯ ( 4 ) ( 2 ) π ν ( ν − 2 ) ( ν − 4 ) ⋯ ( 5 ) ( 3 ) . {\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)\,}}.\!} Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
1 2 + x Γ ( ν + 1 2 ) ⋅ 2 F 1 ( 1 2 , ν + 1 2 ; 3 2 ; − x 2 ν ) π ν Γ ( ν 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}} kjer je
Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:
∫ − ∞ t f ( u ) d u = I x ( ν 2 , ν 2 ) = B ( x ; ν 2 , ν 2 ) B ( ν 2 , ν 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}} kjer je
x = t + t 2 + ν 2 t 2 + ν . {\displaystyle x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.} .
B ( x , a , b ) {\displaystyle B(x,a,b)\!} nepopolna funkcija beta Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
0 za ν > 1 {\displaystyle 0{\text{ za }}\nu >1\!} drugje je nedefinirana.
Varianca je enaka
ν ν − 2 za vrednosti ν > 2 {\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za vrednosti }}\nu >2\!} , ∞ {\displaystyle \infty \!} za 1 < ν ≤ 2 {\displaystyle 1<\nu \leq 2} , drugje je nedefinirana.Sploščenost
uredi
Sploščenost je enaka
6 ν − 4 za ν > 4 {\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!} .Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov ni določena.
Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Slučajna spremenljivka Y {\displaystyle Y\!} ima F porazdelitev Y ∼ F ( ν 1 = 1 , ν 2 = ν ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )\!} kadar je Y = X 2 {\displaystyle Y=X^{2}\!} in ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} Studentovo t-porazdelitev X ∼ t ( ν ) {\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu )\!} .Slučajna spremenljivka Y {\displaystyle Y\!} ima normalno porazdelitev Y ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {N} (0,1)\!} , ko velja Y = lim ν → ∞ X {\displaystyle Y=\lim _{\nu \to \infty }X} in ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} t porazdelitev X ∼ t ( ν ) {\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu )\!} . Slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} ima Cauchyjevo porazdelitev X ∼ C a u c h y ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)\!} , kadar ima X {\displaystyle X\!} t porazdelitev X ∼ t ( ν = 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu =1)\!} . Opombe in sklici
uredi
Zunanje povezave
uredi