Funkcija digama

Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

Graf funkcije
Funkcija digama v kompleksni ravnini. Barva točke označuje vrednost . Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0, odtenek pa označuje vrednost argumenta.

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot , oziroma . Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

Povezava s harmoničnimi številiUredi

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

 

kjer je Hn n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:

 

Integralski izraziUredi

Izrazi se jo lahko z integralom:

 

ki velja, če je realni del od   pozitiven. To se lahko zapiše kot:

 

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnemUredi

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:[1]

 
 

Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:[2]

 

Taylorjeva vrstaUredi

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

 

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je   Riemannova funkcija ζ. Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrstaUredi

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

 

kjer je   binomski koeficient.

Refleksijska formulaUredi

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

 

Rekurenčna enačbaUredi

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

 

Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

 

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

 

V splošnem velja:

 

Gaussovska vsotaUredi

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

 

za cela števila  . Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in   Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

 

posplošitev pa:

 

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψUredi

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:

 

Računanje in približkiUredi

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z:

 

ali:

 
 

Tu je n celo število,   pa n-to Bernoullijevo število,   pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnostiUredi

  • Razvoja v neskončno vrsto:
     
     
kjer je   Riemannova funkcija ζ.
  • Logaritemski razvoj:
     
  • Dvakratni argument:
     

Posebne vrednostiUredi

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Abramowitz, Stegun, 6.3.14; 6.3.15, str. 259.
  2. Abramowitz, Stegun, 6.3.16, str. 259.

ViriUredi

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Anne (1972), "Psi (Digamma) Function. §6.3", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. izd.), New York: Dover, str. 258–259, ISBN 978-0486612720, MR 0167642 Glej razdelek §6.4
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Digamma Function". MathWorld (angleščina).

Zunanje povezaveUredi

  • Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ (angleško)
  • [1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda (angleško)