Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ :
Graf funkcije
ψ
(
x
)
,
(
−
5
≤
x
≤
10
)
{\displaystyle \psi (x),\ (-5\leq x\leq 10)}
Funkcija digama
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
v kompleksni ravnini . Barva točke
s
{\displaystyle s}
označuje vrednost
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
. Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0 , odtenek pa označuje vrednost argumenta .
ϝ
(
x
)
≡
ψ
(
x
)
≡
Ψ
(
x
)
=
d
d
x
ln
Γ
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \digamma (x)\equiv \psi (x)\equiv \Psi (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\!\,.}
Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
, oziroma
ψ
0
{\displaystyle \psi ^{0}}
. Je prva od funkcij poligama , ki so njeni n -ti odvodi .
Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto :
ϝ
(
x
)
≡
d
d
x
ln
x
!
.
{\displaystyle \digamma (x)\equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {x!}\!\,.}
Obe tako definirani funkciji sta povezani z:
ϝ
(
x
)
=
ψ
(
x
+
1
)
.
{\displaystyle \digamma (x)=\psi (x+1)\!\,.}
Povezava s harmoničnimi števili
uredi
Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili :
ψ
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
−
γ
≡
H
n
−
1
−
γ
,
(
n
≥
2
)
,
{\displaystyle \psi (n)=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\gamma \equiv H_{n-1}-\gamma ,\quad (n\geq 2)\!\,,}
kjer je H n n -to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta . Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:
ψ
(
n
+
1
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
+
∑
k
=
1
n
2
2
k
−
1
≡
−
γ
+
H
n
−
1
/
2
.
{\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}\equiv -\gamma +H_{n-1/2}\!\,.}
Izrazi se jo lahko z integralom :
ψ
(
x
)
=
∫
0
∞
(
1
t
e
t
−
e
−
x
t
1
−
e
−
t
)
d
t
=
∫
0
∞
(
1
e
t
−
1
(
1
−
t
)
x
)
d
t
t
=
ln
x
−
1
2
x
−
2
∫
0
∞
t
d
t
(
t
2
+
x
2
)
(
e
2
π
t
−
1
)
,
{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{te^{t}}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}}}-{\frac {1}{(1-t)^{x}}}\right)\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln x-{\frac {1}{2x}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,\mathrm {d} t}{(t^{2}+x^{2})(e^{2\pi t}-1)}}\!\,,}
ki velja, če je realni del od
x
{\displaystyle x}
pozitiven . To se lahko zapiše kot:
ψ
(
x
+
1
)
=
−
γ
+
∫
0
∞
e
−
t
−
e
−
(
x
+
1
)
t
1
−
e
−
t
d
t
=
−
γ
+
∫
0
1
1
−
t
x
1
−
t
d
t
,
{\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-(x+1)t}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm {d} t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,\mathrm {d} t\!\,,}
kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.
Razvoji v vrsto v kompleksnem
uredi
Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti :[ 1]
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
2
∞
(
−
1
)
n
ζ
(
n
)
z
n
−
1
,
(
|
z
|
<
1
)
,
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1},\quad (|z|<1)\!\,,}
ψ
(
z
+
1
)
=
1
2
z
−
1
−
1
2
π
cot
(
π
z
)
−
(
1
−
z
2
)
−
1
+
1
−
γ
−
∑
n
=
1
∞
[
ζ
(
2
n
+
1
)
−
1
]
z
2
n
,
(
|
z
|
<
2
)
.
{\displaystyle \psi (z+1)={\frac {1}{2}}z^{-1}-{\frac {1}{2}}\pi \cot(\pi z)-(1-z^{2})^{-1}+1-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }\left[\zeta (2n+1)-1\right]z^{2n},\quad (|z|<2)\!\,.}
Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:[ 2]
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
1
∞
(
z
n
(
n
+
z
)
)
,
(
z
≠
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
)
.
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\quad (z\neq -1,-2,-3,\ldots )\!\,.}
Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
(
s
k
)
,
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}\!\,,}
kjer je
(
s
k
)
{\displaystyle \textstyle {s \choose k}}
binomski koeficient .
Za funkcijo ψ velja refleksijska formula , ki je podobna tisti za funkcijo Γ :
ψ
(
1
−
x
)
−
ψ
(
x
)
=
π
cot
(
π
x
)
.
{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}\!\,.}
Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba :
ψ
(
x
+
1
)
=
ψ
(
x
)
+
1
x
.
{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}\!\,.}
Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:
Δ
[
ψ
]
(
x
)
=
1
x
,
{\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}\!\,,}
kjer je Δ sprednji diferenčni operator . To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste , od koder sledi enačba:
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
.
{\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma \!\,.}
V splošnem velja:
ψ
(
x
+
1
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
∞
(
1
k
−
1
x
+
k
)
.
{\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)\!\,.}
Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:
−
1
π
k
∑
n
=
1
k
sin
(
2
π
n
m
k
)
ψ
(
n
k
)
=
ζ
(
0
,
m
k
)
=
−
B
1
(
m
k
)
=
1
2
−
m
k
{\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}\!\,}
za cela števila
0
<
m
<
k
{\displaystyle 0<m<k}
. Tukaj sta ζ(s ,q ) Hurwitzeva funkcija ζ in
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)}
Bernoullijev polinom . Poseben primer multiplikacijskega izreka je:
∑
n
=
1
k
ψ
(
n
k
)
=
−
k
(
γ
+
log
k
)
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k)\!\,,}
posplošitev pa:
∑
p
=
0
q
−
1
ψ
(
a
+
p
/
q
)
=
q
(
ψ
(
q
a
)
−
ln
q
)
,
{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln q)\!\,,}
kjer je q naravno število , 1-qa pa ne.
Gaussov izrek za funkcijo ψ
uredi
Za pozitivni celi števili m in k (m < k ) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:
Γ
′
(
m
/
k
)
Γ
(
m
/
k
)
≡
ψ
(
m
k
)
=
−
γ
−
ln
(
2
k
)
−
π
2
cot
(
m
π
k
)
+
2
∑
n
=
1
⌈
(
k
−
1
)
/
2
⌉
cos
(
2
π
n
m
k
)
ln
(
sin
(
n
π
k
)
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma '(m/k)}{\Gamma (m/k)}}\equiv \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)\!\,}
Računanje in približki
uredi
Razvoja v neskončno vrsto :
ψ
(
x
)
=
−
1
x
+
∑
n
=
1
∞
ψ
(
1
)
x
n
x
!
,
{\displaystyle \psi (x)=-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (1)x^{n}}{x!}}\!\,,}
ψ
(
x
)
=
ln
x
−
1
2
x
+
∑
n
=
1
∞
ζ
(
1
−
2
n
)
x
2
n
,
{\displaystyle \psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}\!\,,}
kjer je
ζ
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
Riemannova funkcija ζ.
Logaritemski razvoj:
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
ln
(
x
+
k
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)\!\,.}
Dvakratni argument:
ψ
(
2
x
)
=
1
2
ψ
(
x
)
+
1
2
ψ
(
x
+
1
2
)
+
ln
2
.
{\displaystyle \psi (2x)={\frac {1}{2}}\psi (x)+{\frac {1}{2}}\psi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)+\ln 2\!\,.}
Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.
ψ
(
8
)
=
363
140
−
γ
{\displaystyle \psi (8)={\frac {363}{140}}-\gamma \!\,}
ψ
(
6
)
=
137
60
−
γ
{\displaystyle \psi (6)={\frac {137}{60}}-\gamma \!\,}
ψ
(
4
)
=
11
6
−
γ
{\displaystyle \psi (4)={\frac {11}{6}}-\gamma \!\,}
ψ
(
3
)
=
3
2
−
γ
{\displaystyle \psi (3)={\frac {3}{2}}-\gamma \!\,}
ψ
(
2
)
=
1
−
γ
{\displaystyle \psi (2)=1-\gamma \!\,}
ψ
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \!\,}
ψ
(
1
2
)
=
−
2
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma \!\,}
ψ
(
1
3
)
=
−
π
2
3
−
3
2
ln
3
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma \!\,}
ψ
(
1
4
)
=
−
π
2
−
3
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \!\,}
ψ
(
1
6
)
=
−
π
2
3
−
2
ln
2
−
3
2
ln
3
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma \!\,}
ψ
(
1
8
)
=
−
π
2
−
4
ln
2
−
1
2
[
π
+
ln
(
2
+
2
)
−
ln
(
2
−
2
)
]
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right]-\gamma \!\,}
↑ Abramowitz, Stegun, 6.3.14; 6.3.15, str. 259.
↑ Abramowitz, Stegun, 6.3.16, str. 259.
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Anne (1972), »Psi (Digamma) Function. §6.3«, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. izd.), New York: Dover, str. 258–259, ISBN 978-0486612720 , MR 0167642 Glej razdelek §6.4
Weisstein, Eric Wolfgang . »Digamma Function« . MathWorld .
Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ (angleško)
[1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda (angleško)