Sedemkotnik

Sédemkótnik ali sedmerokótnik ali s tujko héptagon (starogrško heptagōnos, iz hepta – sedem in gōnos – tak, ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik s sedmimi stranicami, sedmimi oglišči in sedmimi notranjimi koti.

Sedemkotnik včasih imenujejo tudi septagon, kjer je predpona sept- (elizija številčne predpone septua-, izvedene iz latinščine).

Splošne značilnosti

V pravilnem sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 5π/7 radianov, oziroma 128 4/7 = 128,5714286... stopinj. Vsota notranjih kotov v preprostem sedemkotniku je enaka:

S_{7}=(7-2)\cdot 180^{\circ }=900^{\circ }\!\,.

Njegov Schläflijev simbol je {7}.

Dolžina stranice $a\,\!$ je:

a=2R\sin {\frac {\pi }{7}}\approx 0,86777R\!\,,

kjer je R polmer očrtane krožnice.

Obseg

Obseg sedemkotnika z dolžino stranice $a\,\!$ je:

o=7a\!\,.

Ploščina

Ploščina pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice $a\,\!$ je:

p={\frac {7}{4}}\,\operatorname {ctg} \,\left({\frac {\pi }{7}}\right)a^{2}\approx 3,63391a^{2}\!\,.

To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo apoteme kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa $\pi /7\,$ , ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.

Točen algebrski izraz prek polinoma $x{3}+x{2}-2x\,$ (ena od njegovih ničel je $2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}$ )^[1]^:186–187 je dan z:

p={\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{196(13-3i{\sqrt {3}})}}+2{\sqrt[{3}]{196(13+3i{\sqrt {3}})}}\right)}}a^{2}\!\,,

kjer je $i\,$ imaginarna enota.

Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice $R\,\!$ je:

p={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}\approx 2,73641R^{2}\!\,.

Ploščina očrtanega kroga je $\pi R^{2}\,$ , tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:

{\frac {7\sin {\frac {2\pi }{7}}}{2\pi }}\approx 0,87103\!\,.

Konstrukcija

Pravilnega sedemkotnika se ne da skonstruirati z ravnilom in šestilom. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.

Simetrija

Simetrije pravilnega sedemkotnika. Oglišča so pobarvana glede na njihove simetrijske lege. Modre premice zrcaljenj so narisane skozi oglišča in stranice. Redi giracij so podani v središču.

Pravilni sedemkotnik ima simetrijo Dih₇, reda 14. Ker je 7 praštevilo, obstaja ena podgrupa z diedrsko simetrijo: Dih₁, in 2 simetriji ciklične grupe: Z₇ in Z₁.

Te 4 simetrije se lahko vidijo v 4-h različnih simetrijah sedemkotnika. Conway jih je označil s črko in z redom grupe.^[2] Polna simetrija pravilne oblike je r14 in nobena simetrija ni označena z a1. Diedrske simetrije so razdeljene glede na to ali potekajo skozi oglišča (d za diagonalo) ali stranice (p za pravokotnice), in i kadar premice zrcaljenj potekajo skozi oglišča in stranice. Ciklične simetrije v srednjem stolpcu so označene z g za njihove središčne redove giracij.

Vsaka simetrija podgrupe dovoljuje eno ali več prostostnih stopenj za nepravilne oblike. Le podgrupa g7 nima prostostnih stopenj in se jo ima lahko za usmerjene stranice.

Pokritja

Najgostejše znano pokritje evklidske ravnine s sedemkotniki, ki so usmerjeni na dva načina (obarvano različno). Tapetna grupa takšnega pokritja je pmg (22*)

Poincaréjev krožni model sedemkotniškega pokritja hiperbolične ravnine

Sedemkotnik pravilno ne pokrije evklidske ravnine v celoti in največja gostota pokritja je enaka:^[3]

{\frac {2}{97}}\left(-111+492\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)-356\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{7}}\right)\right)=0,89269068\ldots \!\,.

Sedemkotnik lahko pokrije hiperbolično ravnino, kot je razvidno v Poincaréjevem krožnem modelu.

Galerija

Sedemkotnik na kaktusu
Slaščica iz Ayerbeja
Dvorazsežni načrt sedemkotniške fortifikacije, Alain Manesson Mallet, Les Travaux de Mars ou l'Art de la Guerre, 1696
Sedemkraka zvezda na cistercijanskem samostanu Beaulieu-en-Rouergue v Ginalsu
Geometrijski problem površine sedemkotnika razdeljenega na trikotnike na glineni ploščici, ki je pripadala šoli za pisanje, Susa, prva polovica 2. tisočletja pr. n. št.