Odpre glavni meni

Polinóm, mnogočlénik ali veččlenik stopnje n, je linearna kombinacija potenc z nenegativnimi celimi eksponenti.

Vsebina

SplošnoUredi

Splošni zapis polinoma

 

ali krajše

 

kjer so koeficienti

 

poljubna realna števila ali kompleksna števila. Polinome uvrščamo med cele racionalne funkcije. Preprosti polinomi so realne funkcije ene realne spremenljivke:

 

Osnovni parametri polinoma so:

  • stopnja polinoma st(p) = n
  • vodilni koeficient an
  • prosti člen a0.

Glede stopnje polinoma ločimo

  • polinom ničte stopnje (n = 0) ali konstantni polinom
 
  • polinom prve stopnje (n = 1) ali linearni polinom
 
  • polinom druge stopnje (n = 2) ali kvadratni polinom
 
  • polinom tretje stopnje (n = 3) ali kubični polinom
 

Graf polinoma je nepretrgana ravninska polinomska krivulja n-te stopnje:

 

Enakost polinomovUredi

Polinoma

 

in

 

sta med seboj enaka, če se ujemata v stopnji (n = m) in v vseh koeficientih (za vsak k ≤ n velja ak = bk).

Računske operacije nad polinomiUredi

Nad polinomi lahko izvajamo naslednje računske operacije:

Za računske operacije, ki jih izvajamo nad polinomi veljajo enaki računski zakoni kot za računanje s celimi števili.

Množenje polinoma s konstantoUredi

Pri množenju polinoma s konstanto množimo vse njegove člene s to konstanto:

 

Seštevanje polinomovUredi

Seštevanje dveh ali več polinomov izvajamo tako, da seštevamo med seboj člene z enakimi potencami. Stopnja vsote je manjša ali kvečjemu enaka najvišji stopnji izmed vseh polinomov v vsoti.

 

Odštevanje polinomovUredi

Odštevanje polinomov je nasprotna računska operacija seštevanju, zato za odštevanje polinomov veljajo enaka pravila kot za seštevanje:

 

Množenje polinomovUredi

Polinome med seboj množimo po distributivnostnem pravilu ali pravilu o razčlenjevanju.

 

Velja naslednje: Vodilni koeficient produkta dveh ali več polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh ali več polinomov je prav tako enak produktu prostih členov posameznih polinomov. Stopnja produkta dveh ali več polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

Deljenje polinomovUredi

Pri deljenju polinomov se oprimemo osnovnega izreka o deljenju, ki pravi: Za poljubna polinoma p stopnje n in q stopnje m, kjer velja n > m, obstajata natanko določena polinoma k in r, tako da velja

 

Polinom k imenujemo količnik (stopnje n - m), polinom r pa ostanek (stopnje 0 ≤ st(r) < m).

Deljenje polinoma p s polinomom (x − a)Uredi

Posebej zanimiv primer deljenja je deljenje polinoma p z linearnim polinomom oblike (x − a). Ker je stopnja ostanka vedno manjša od stopnje delitelja, mora biti ostanek pri takem deljenju stopnje 0 - ostanek je torej konstanten polinom (število):

 

Če v zgornjo enakost vstavimo vrednost x = a, se izkaže, da je vrednost p(a) ravno enaka zgoraj omenjenemu ostanku. Torej velja pomembna zakonitost:

Ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) je vedno enak kot vrednost polinoma p v točki a.

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek seveda enak 0 in to pomeni, da lahko polinom zapišemo v obliki produkta dveh faktorjev:

 

Razcep polinomovUredi

Če poznamo vse ničle, lahko polinom stopnje n zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:

 

Število A je vodilni koeficient polinoma, števila a1, a2, ..., an pa so ničle.

Pri tem se lahko upravičeno vprašamo, ali polinom sploh ima ničle. Obstoj ničel zagotavlja osnovni izrek algebre (imenovan tudi Gaussov izrek). Žal pa ne obstaja noben splošni postopek, s katerim bi lahko izračunali vse ničle katerega koli polinoma. Pri iskanju ničel si zato pomagamo z različnimi postopki, med katerimi so najpomembnejši:

Viètove formule polinomaUredi

Naj bo

 

polinom stopnje  ,  koeficienti polinoma in   Z  označimo (ne nujno različne) ničle polinoma  . Potem med ničlami polinoma   in njegovimi koeficienti obstajajo relacije, ki jih imenujemo Vietove formule polinoma. Imenujejo se po francoskem matematiku Françoisu Vièteu.

Glasijo se takole:

 

ZglediUredi

Polinom stopnje 2Uredi

Polinom stopnje 2, ali bolj pogosto kvadratna funkcija je polinom oblike

 

Viètovi formuli za kvadratno funkcijo z ničlama  in   večina že pozna iz osnovne ali srednje šole. Glasijo se takole:

 

Polinom stopnje 3Uredi

Splošna oblika polinoma 3. stopnje je

 

Viètove formule za polinom stopnje 3 z ničlami  in   se glasijo:

 

Oglejmo si lahek zgled uporave Viètovih formul:

Naloga: Polinom   naj bo podan z  z   in   pa označimo njegove ničle. Ne da bi izračunal ničle polinoma   izračunaj vrednost izraza  


Rešitev: Izraz   je enak   V njem opazimo Viètove formule za polinom  , ki so  in  .

Vidimo, da se produkt ničel ne ponavlja v našem izrazu, zato uporabimo samo prvi dve in dobimo

  

Opomba: Če bi poskušali izračunati ničle zgoraj podanega polinoma   bi se zelo namučili. Osnovni izrek algebre nam zagotavlja obstoj treh kompleksnih ničel, ne vemo pa kako se jih izračuna. Ena izmed metod so Cardanove formule, ki so zelo računsko zahtevne. S kakšnim spletnim programom za simbolno računanjem lahko pokažemo, da so ničle polinoma  :

 

Opazimo, da nam Viètove formule dajo zelo lepo povezavo med ničlami in koeficienti polinoma. Pomislimo sedaj, kako bi preverili, da je  res enako  , če ne bi poznali formul in bi se računanja lotili z izračunanimi ničlami.


Glej tudi