Podgrupa

Podgrupa dane grupe za neko dvočleno operacijo * je H podmnožica množice G se imenuje podgrupa G, če H tudi tvori grupo za dvočleno operacijo *. Če smo bolj natančni je H je podgrupa množice G, če so omejitve, ki veljajo za * H x H grupna operacija za H. To se pogosto piše kot H ≤ G, in bere kot "H je podgrupa za G".

Osnovne značilnosti podgrup

Podmnožica H grupe G je podgrupa za G, če in samo, če ni prazna in je zaprta za produkt in obratne vrednosti. Zaprtost pomeni naslednje: kadar sta a in b v H in sta v H tudi ab in a⁻¹ tudi v H. Ta dva pogoja lahko kombiniramo v enakovredno trditev: kadar sta a in b v H, potem je tudi ab⁻¹ je tudi v H. Kadar je H končen, je H podgrupa samo, če in samo če je H zaprt za zmnožek. V tem primeru vsak element iz H generira končno vrtilno grupo za H in obratna vrednost za a je enaka a⁻¹ = a^{n − 1}, kjer n red za a.
Zgornjo trditev lahko izrazimo s pomočjo homomorfizma. To pomeni, da je H podgrupa grupe G samo, če in samo, če je H podmnožica od G.
Nevtralni element podgrupe je nevtralni element grupe. Kadar ima G nevtralni element e_Gin je H podgrupa za G z nevtralnim elementom e_H, potem je e_H = e_G.
Obratna vrednost elementa v podgrupi je obratna vrednost elementa v grupi. Kadar je H podgrupa grupe G in sta a in b elementa H tako, da je ab =ba = e_H, potem je ab = ba =e_G.
Presek podgrup A in B je tudi podgrupa ^[1]. Unija podgrup A in B je podgrupa, če in samo če vsebujeta A ali B tudi drugega, ker sta primera 2 in 3 uniji 2Z in 3Z, njuna vsota 5 pa ni. Naslednji primer je unija x-osi in y-osi v ravnini. To služi kot primer dveh podgrup, katerih presek je natančno nevtralni element.
Če je S podmnožica za G, potem obstoja najmanjša podgrupa, ki vsebuje S, ki jo najdemo tako, da vzamemo presek vseh podgrup, ki vsebujejo S. Označimo jo z <S> in zanjo pravimo, da je to podgrupa, ki jo generira S. Element iz G je v S je samo in samo, takrat ko je končni zmnožek elementov iz S, katerih presek je natančno nevtralni element.
Vsak element grupe G generira ciklično podgrupo <a>. Kadar je <a> izomorfen za x Z/nZ za vsako pozitivno celo število, je n najmanjše pozitivno celo število za aⁿ = e in n se za a imenuje red . Kadar je <a> izomorfen za Z, pravimo, da ima a neskončni red.
Podgrupe vsake dane grupe tvorijo popolno mrežo pod inkluzijo, ki jo imenujemo mreža podgrup. Kadar je nevtralni element za G, takrat je trivialna grupa {e} minimalna vrednost podgrupe za G. Pri tem pa je maksimalna vrednost sama po sebi že grupa.

Koseti in Lagrangeev izrek

Za dano podgrupo H in poljuben a v lahko definiramo levi koset aH = {ah :h v H}. Ker je preslikava obrnljiva H → aH in je dana z φ(h) = ah je to bijekcija. Vsak element v G se nahaja natančno v enem levem kosetu od H. Levi koset je enakovreden razred, ki odgovarja ekvivalenčni relaciji a₁ ~ a₂, če in samo, če je a₁⁻¹a₂ v H. Število levih kosetov za H se imenuje indeks za H v G. Označujemo ga z [G : H].

Lagrangeev izrek trdi, da je za končne grupe v podgrupi:

[G:H]={|G| \over |H|}

kjer |G| in |H| označujeta red za G oziroma za H. Pti tem mora biti red vsake grupe za G ter red vsakega elementa od G delitelj za G.

Desni koseti so definirani podobno Ha = {ha : h v H}. To so tudi ekvivalenčni razredi za odgovarjajoče ekvivalenčne relacije. Njihovo število je enako [G : H].

Kadar je aH = Ha za vsak a v G, pravimo, da je H normalna podgrupa. Vsaka podgrupa z indeksom dva je normalna. Levi in desni koset je podgrupa in njegov komplement. Bolj splošno to povemo tako, da takrat, ko je p prvo praštevilo, ki deli red končne grupe G, potem je vsak indeks podgrupe, če ta obtoja, običajen.

Zgled za podgrupe Z₈

Naj bo G ciklična grupa, ki ima elemente

G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}

in z grupno operacijo seštevanje po modulu osem. Pripadajoča Caleyjeva tabela je

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ta grupa ima par netrivialnih podgrup J={0,4} in H={0,2,4,6}, kjer je J tudi podgrupa za H. Caylejeva tabela za H zgornji levi kvadrant Caylejeve tabele za G. Grupa G je ciklična. Takšne so tudi njene podgrupe. V splošnem so tudi podgrupe cikličnih grup tudi ciklične.