Ptolemajev izrek
Ptolemajev izrèk [ptolemájev ~] je izrek iz ravninske geometrije, ki povezuje diagonali in stranice tetivnega štirikotnika, štirikotnika, ki mu očrtamo krožnico. Izrek se imenuje po Ptolemaju. Ptolemaj je s pomočjo izreka izdelal razpredelnico tetiv, trigonometrično razpredelnico, ki jo je uporabil v astronomiji.
Definicija
urediIzrek pravi, da je v vsakem tetivnem štirikotniku produkt njegovih dveh diagonal enak vsoti produktov paroma nasprotnih stranic:
Uporabljamo ga v trigonometriji. Če je tetivni štirikotnik pravokotnik, velja Pitagorov izrek. V splošnejši obliki velja Ptolemajeva neenakost:
Enakost velja le, kadar je štirikotnik tetivni, kadar vsa njegova oglišča ležijo na eni krožnici.
Velja tudi obrat Ptolemajevega izreka: če je vsota produktov paroma nasprotnih stranic v štirikotniku enaka produktu njegovih dveh diagonal, je štirikotnik tetivni.
Posebni primeri
urediEnakostranični trikotnik
urediIz Ptolemajevega izreka kot posledica sledi izrek o enakostraničnem trikotniku z očrtano krožnico.[1]
Za dan enakostranični trikotnik in poljubno točko na očrtani krožnici je razdalja od točke do najbolj oddaljenega oglišča trikotnika enaka vsoti razdalj od točke do obeh najbližjih oglišč.
- Dokaz
Sledi neposredno iz Ptolemajevega izreka:
Kvadrat
urediVsakemu kvadratu lahko očrtamo krožnico. Njeno središče je tudi baricenter kvadrata. Če je dolžina stranice kvadrata enaka , je dolžina obeh diagonal po Pitagorovem izreku enaka , tako da zveza očitno velja:
Pravokotnik
urediČe je štirikotnik pravokotnik z dolžinama stranic a in b ter diagonale d, se Ptolemajev izrek prevede v Pitagorov izrek. V tem primeru je središče očrtane krožnice enako presečišču diagonal. Ptolemajev izrek ima obliko:
Kopernik, ki je v svojem delu iz trigonometrije veliko rabil Ptolemajev izrek, ga navaja kot 'porizem', oziroma kot očitno posledico:
- Naprej je jasno (manifestum est), da lahko za dano tetivo čez lok določimo tudi tetivo čez preostanek polkrožnice.
O kroženjih nebesnih krogel: stran 37. Glej zadnji dve vrstici te strani.
Kopernik ga niti ne imenuje »Ptolemajev izrek«, amprak preprosto kot »Theorema Secundum«.
Pravilni petkotnik
urediDrug primer povezuje dolžino stranice pravilnega petkotnika a in dolžino tetiv očrtane krožnice (diagonal petkotnika) b, kjer ima Ptolemajev izrek obliko:
kar da število zlatega reza:
Glej tudi
urediSklici
uredi- ↑ Wilson, Jim. »Ptolemy's Theorem« (v angleščini). Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 15. decembra 2017. Pridobljeno 8. aprila 2009.
Viri
uredi- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, S. L. (1967). »§2.6 v Geometry Revisited«. Ptolemy's Theorem and its Extensions. Washington: Ameriška matematična zveza. str. 42–43.
- Kopernik, Nikolaj (2002). De revolutionibus orbium coelestium. Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3. (Angleški prevod iz On the Shoulders of Giants, Hawking, S.).
Zunanje povezave
uredi- Ptolemajev izrek na cut-the-knot (angleško)
- Dokaz sestavljenega kota na cut-the-knot (angleško)
- Ptolemajev izrek Arhivirano 2011-07-24 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
- Ptolemajev izrek na MathWorld (angleško)