Primitivna funkcija

Primitívna fúnkcija ali prvôtna fúnkcija dane (izvorne) funkcije je v infinitezimalnem računu in matematični analizi funkcija , katere odvod je enak :

Postopek reševanja za primitivne funkcije je iskanje nedoločenega integrala. Primitivne funkcije so povezane z določenimi integrali prek osnovnega izreka matematične analize in omogočajo primerne načine za računanje določenih integralov mnogih funkcij.

ZglediUredi

Funkcija   je primitivna funkcija od  . Ker je odvod konstante enak 0, bo za   obstajalo neskončno mnogo primitivnih funkcij, na primer:  ,  ,  , itd. Družina vseh primitivnih funkcij   bo tako imela obliko  , kjer je C poljubna konstanta, znana kot aditivna konstanta, konstanta integracije ali integracijska konstanta. Grafi primitivnih funkcij dane funkcije so navpično premaknjeni po ordinatni osi in lega vsakega grafa je odvisna od vrednosti C.

     
Polinomi in racionalne funkcije
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
Trigonometrične in krožne funkcije
     
     
     
     
     
     
     
Eksponentne in logaritemske funkcije
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Uporabe in značilnostiUredi

Primitivne funkcije so pomembne, ker z njimi lahko rešimo določene integrale s pomočjo osnovnega izreka matematične analize. Če je   primitivna funkcija integrabilne funkcije  , potem velja:

 

Zaradi tega se včasih neskončno mnogo primitivnih funkcij dane funkcije   imenuje »splošni integral« ali »nedoločeni integral« funkcije   in se zapiše s simbolom za integral brez mej:

 

Če je   primitivna funkcija   in je funkcija   definirana na kakšnem intervalu, se vsaka druga primitivna funkcija   funkcije   razlikuje od   za konstanto. Obstaja takšno število C, da velja   za vse x. C je poljubna aditivna konstanta.

Če je domena   disjunktna unija dveh ali več intervalov, lahko za vsak interval izberemo različne aditivne konstante. Na primer:

 

je najbolj splošna primitivna funkcija   na svoji naravni domeni  

Vsaka zvezna funkcija   ima primitivno funkcijo in ena primitivna funkcija   je dana z določenim integralom  , kjer je spremenljivka zgornja meja:

 

Če spreminjamo spodnjo mejo, dobimo druge primitivne funkcije, ne pa nujno vseh možnih. To je druga predstavitev osnovnega izreka matematične analize.

Obstaja mnogo funkcij, katerih primitivne funkcije, čeprav obstajajo, ni moč izraziti z elementarnimi funkcijami kot so polinomi, eksponenetne funkcije, logaritmi, trigonometrične funkcije, obratne trigonometrične funkcije ali njihove kombinacije. Zgledi takšnih funkcij so:

 

Z diferencialno Galoisovo teorijo se lahko določi ali ima elementarna funkcija primitivno funkcijo, ki se jo lahko izrazi kot elementarno.

Tehnike integracijeUredi

Iskanje primitivnih funkcij elementarnih funkcij je pogosto veliko težje kot iskanje njihovih odvodov. Za nekatere elementarne funkcije je nemogoče najti primitivne funkcije, izražene z drugimi elementarnimi funkcijami.

Na razpolago imamo več različnih metod:

Primitivne funkcije nezveznih funkcijUredi

Za boljšo predstavo podrobnosti osnovnega izreka analize je poučno, če premislimo kakšne vrste nezveznih funkcija imajo lahko primitivne funkcije. Čeprav so še nerešena vprašanja, je znano:

  • da imajo lahko nekatere zelo patološke funkcije z velikimi množicami nezveznosti vseeno primitivne funkcije,
  • da lahko v nekaterih primerih poiščemo primitivne funkcije takšnih patoloških funkcij z Riemannovim integralom, v drugih pa niso integrabilne po Riemannu.

Sledi nekaj splošnih značilnosti, ki jim sledi nekaj zgledov. Vseskozi predpostavimo, da so domene funkcij odprti intervali.

  • potreben, vendar nezadosten pogoj, da ima funkcija   primitivno funkcijo, je, da ima značilnost vmesne vrednosti. To pomeni, če je [a,b] podinterval domene   in je d realno število med   in  , potem velja   za neki c med a in b. Naj bo   primitivna funkcija   in naj je zvezna funkcija   na zaprtem intervalu [a, b]. Potem mora imeti   ali maksimum ali minumum c na odprtem intervalu (a,b), tako da je  ,
  • množica nezveznosti   mora biti suha množica. Ta množica mora biti tudi množica  , ker mora takšna biti množica nezveznosti katerekoli funkcije. Za poljubno suho množico   lahko skonstruiramo kakšno funkcijo   s primitivno funkcijo, ki ima za dano množico svojo množico nezveznosti,
  • če ima   primitivno funkcijo, če je omejena na zaprtih končnih podintervalih domene, in, če ima množico nezveznosti z Lebesguovo mero enako 0, lahko njeno primitivno funkcijo poiščemo z integracijo,
  • če ima   primitivno funkcijo na zaprtem intervalu [a,b], potem se, če za vsako izbiro particije   izberemo vzorčne točke   po izreku o povprečni vrednosti, odgovarjajoča Riemannova vsota izteguje k vrednosti  :
 
Če ima množica nezveznosti   pozitivno Lebesguovo mero, bo druga izbira vzorčnih točk   dala precej različno vrednost za Riemannovo vsoto, ne glede na to kako nadrobna je particija.

ZglediUredi

  1. Funkcija:
     
    z vrednostjo   v točki   ni zvezna, ima pa primitivno funkcijo:
     
    z vrednostjo  . Ker je   omejena na zaprtih končnih intervalih in je nezvezna edino v točki 0, lahko njeno primitivno funkcijo   določimo z integracijo:  .
  2. Funkcija:
     
    z vrednostjo   ni zvezna v točki  , njena primitivna funkcija pa obstaja:
     
    z vrednostjo  . Z razliko kot v prvem zgledu je   neomejena v vsakem intervalu, ki vsebuje 0, tako da je Riemannov integral nedoločen.
  3. Če je   funkcija iz prvega zgleda in   njena primitivna funkcija, ter   gosta števna podmnožica odprtega intervala  , ima funkcija:
     
    primitivno funkcijo:
     
    Množica nezveznosti   je ravno  . Ker je   omejena na zaprtih končnih intervalih in ima množica nezveznosti mero enako 0, lahko primitivno funkcijo   poiščemo z integracijo.
  4. Naj je   gosta števna podmnožica odprtega intervala  . Naj je povsod zvezna strogo naraščajoča funkcija:
     
    Potem velja:
     
     
    Slika 1.
     
    Slika 2.

    za vse vrednosti x, kjer vrsta konvergira in ima graf F(x) navpične tangente pri vseh drugih vrednostih x. Še posebej ima graf navpične tangente v vseh točkah množice  .

    Velja še naprej   za vse x kjer je odvod določen. Sledi, da je obratna funkcija   povsod odvedljiva in:

     

    za vse x v množici  , ki je gosta na intervalu  . Tako ima   primitivno funkcijo  . Na drugi strani ne more veljati:

     

    ker lahko za vsako particijo   izberemo vzorčne točke Riemannove vsote iz množice  , ki dajo vrednost za vsoto enako 0. Sledi, da ima   množico nezveznosti s pozitivno Lebesguovo mero. Slika 1 prikazuje približek za graf  , kjer je   in je vzetih prvih 8 členov. Slika 2 prikazuje graf približka primitivne funkcije  , tudi s prvimi 8. členi. Če Riemannov integral zamenjamo z Lebesguovim integralom, potem Fatouova lema ali Lebesguov izrek o prevladujoči konvergenci pokažeta, da   v tem smislu zadovoljuje osnovni izrek analize.

  5. V zgledih 3 in 4 sta množici nezveznosti funkcij   gosti le v končnem zaprtem intervalu  . Takšne primere lahko priredimo tako, da bodo množice nezveznosti goste na celotni realni premici  . Naj je:
     
    Potem ima   gosto množico nezveznosti na   in njena primitivna funkcija je  
  6. S podobnim postopkom kot v petem zgledu lahko popravimo funkcijo   iz četrtega zgleda, da ne bo imela racionalnih vrednosti. Če uporabimo naivno različico Riemannovega integrala, ki je določena kot limita leve strani ali kot Riemannova vsota desne strani prek regularnih particij, lahko ugotovimo, da je integral takšne funkcije   čez interval   enak 0, čeprav sta a in b oba racionalna, namesto  . Na ta način osnovni izrek analize ne bo veljal.

Glej tudiUredi

ViriUredi