Logaritem

Grafi funkcij $\ln x\,$ (modra), $\log x\,$ (rdeča) in $\log _{1/2}x\,$ (vijolična)

Logaritem števil 0-10. Na x-osi so argumenti logaritmov, na y-osi so vrednosti po enačbi $y={\frac {1}{\log _{a}x}}={\frac {\log a}{\log x}}\,$, krivulje pa označujejo osnove a

Logarítem (starogrško λόγος: lógos - beseda + ἀριθμός: aritmós - število) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe $a^{y}=x$ vrne eksponent $y$. Zapiše se jo v obliki $y=\log _{a}x$, kjer sta $a,x\in \mathbb {R} ^{+}$. To se bere logaritem x z osnovo a. $x$ se imenuje logaritmand ali pa argument.

Algebrska definicija logaritma: $\log _{a}x=y\Longleftrightarrow a^{y}=x$

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

$\log _{a}:\mathbb {R} ^{+}\longrightarrow \mathbb {R} \!\,.$

Zgledi:

$\log _{2}8=3,\log _{5}125=3,\log _{2}\left({\frac {1}{16}}\right)=-4\!\,.$

$\log _{3}{\sqrt {27}}=\log _{3}3^{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}\!\,.$

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim se zapletenejši logaritemski izraz predela v eksponentno enačbo. To omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

$\log _{2}{\sqrt {2}}=x\!\,$ $2^{x}={\sqrt {2}}\!\,$ $2^{x}=2^{\frac {1}{2}}\!\,$ $x={\frac {1}{2}}$

$\log _{x}(x+2)=2\!\,$ $x^{2}=x+2\!\,$ Dobimo kvadratno enačbo. $x^{2}-x-2=0\!\,$ $(x-2)(x+1)=0\!\,$ $x_{1}=2\!\,$ $x_{2}=-1\!\,$ Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. $R=\{2\}\!\,$

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

Vsota logaritmov

$\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}(xy)\!\,.$

Dokaz:

$\log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,$

$xy=a^{d}\cdot a^{e}=a^{d+e}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}(xy)=\log _{a}a^{d+e}=d+e=\log _{a}x+\log _{a}y\!\,$

Razlika logaritmov

$\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\!\,$

Dokaz:

$\log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,$

${\frac {x}{y}}={\frac {a^{d}}{a^{e}}}=a^{d-e}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}a^{d-e}=d-e=\log _{a}x-\log _{a}y\!\,$

Množenje logaritma s konstanto

$r\log _{a}x=\log _{a}x^{r}$; $r\in \mathbb {R} \!\,$

Dokaz:

$\log _{a}x=b\Longrightarrow a^{b}=x\!\,$

$x^{y}=(a^{b})^{y}=a^{by}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}x^{y}=\log _{a}a^{by}=by=y\log _{a}x\!\,$

Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da se znan logaritem izrazi z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število) razen če imate TI-36X PRO, ki lahko računa s katerokoli osnovo. Glede na to se loči desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: $\log x=\log _{10}x$.

Naravne logaritme se označuje z drugo oznako: $\ln x=\log _{e}x$.

Med logaritmi z različnimi osnovami se pretvarja po pravilu $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$. Logaritem z osnovo a se je pretvoril v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, se lahko izračuna iskano vrednost $\log _{a}x$ kar z žepnim računalnikom: ${\frac {\log x}{\log a}}$ (oziroma ${\frac {\ln x}{\ln a}}$).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. $\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1$

Dokaz:

$\log _{a}b={\frac {\log _{b}b}{\log _{b}a}}\!\,$

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\!\,$

$\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1\!\,$

Glej tudi

• dvojiški logaritem
• logaritemsko računalo
• eksponentna funkcija
• Taylorjeva vrsta

Viri

• Stöcker, Horst (2006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. COBISS 229576192. ISBN 86-365-0587-9. 

Zunanje povezave

• Praktik.si: Video razlaga logaritma
• Weisstein, Eric W. "Logarithm". MathWorld (angleščina).