Logaritem

Logarítem (starogrško λόγος: lógos - beseda + ἀριθμός: aritmós - število) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe $a^{y}=x$ vrne eksponent $y$. Zapiše se jo v obliki $y=\log _{a}x$, kjer sta $a,x\in \mathbb {R} ^{+}$. To se bere logaritem x z osnovo a. $x$ se imenuje logaritmand ali pa argument.

Grafi funkcij $\ln x\,$ (modra), $\log x\,$ (rdeča) in $\log _{1/2}x\,$ (vijolična)

Logaritem števil 0-10. Na x-osi so argumenti logaritmov, na y-osi so vrednosti po enačbi $y={\frac {1}{\log _{a}x}}={\frac {\log a}{\log x}}\,$, krivulje pa označujejo osnove a

Algebrska definicija logaritma: $\log _{a}x=y\Longleftrightarrow a^{y}=x$

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

$\log _{a}:\mathbb {R} ^{+}\longrightarrow \mathbb {R} \!\,.$

Zgledi:

$\log _{2}8=3,\log _{5}125=3,\log _{2}\left({\frac {1}{16}}\right)=-4\!\,.$

$\log _{3}{\sqrt {27}}=\log _{3}3^{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}\!\,.$

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim se zapletenejši logaritemski izraz predela v eksponentno enačbo. To omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

$\log _{2}{\sqrt {2}}=x\!\,$ $2^{x}={\sqrt {2}}\!\,$ $2^{x}=2^{\frac {1}{2}}\!\,$ $x={\frac {1}{2}}$

$\log _{x}(x+2)=2\!\,$ $x^{2}=x+2\!\,$ Dobimo kvadratno enačbo. $x^{2}-x-2=0\!\,$ $(x-2)(x+1)=0\!\,$ $x_{1}=2\!\,$ $x_{2}=-1\!\,$ Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. $R=\{2\}\!\,$

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

Vsota logaritmov

$\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}(xy)\!\,.$

Dokaz:

$\log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,$

$xy=a^{d}\cdot a^{e}=a^{d+e}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}(xy)=\log _{a}a^{d+e}=d+e=\log _{a}x+\log _{a}y\!\,$

Razlika logaritmov

$\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\!\,$

Dokaz:

$\log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,$

${\frac {x}{y}}={\frac {a^{d}}{a^{e}}}=a^{d-e}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}a^{d-e}=d-e=\log _{a}x-\log _{a}y\!\,$

Množenje logaritma s konstanto

$r\log _{a}x=\log _{a}x^{r}$; $r\in \mathbb {R} \!\,$

Dokaz:

$\log _{a}x=b\Longrightarrow a^{b}=x\!\,$

$x^{y}=(a^{b})^{y}=a^{by}/\log _{a}\!\,$

$\log _{a}x^{y}=\log _{a}a^{by}=by=y\log _{a}x\!\,$

Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da se znan logaritem izrazi z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število) razen če imate TI-36X PRO, ki lahko računa s katerokoli osnovo. Glede na to se loči desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: $\log x=\log _{10}x$.

Naravne logaritme se označuje z drugo oznako: $\ln x=\log _{e}x$.

Med logaritmi z različnimi osnovami se pretvarja po pravilu $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$. Logaritem z osnovo a se je pretvoril v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, se lahko izračuna iskano vrednost $\log _{a}x$ kar z žepnim računalnikom: ${\frac {\log x}{\log a}}$ (oziroma ${\frac {\ln x}{\ln a}}$).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. $\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1$

Dokaz:

$\log _{a}b={\frac {\log _{b}b}{\log _{b}a}}\!\,$

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\!\,$

$\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1\!\,$

Zgodovina

Zgodovina logaritmov v Evropi sedemnajstega stoletja se je začela z odkritjem nove funkcije, ki je področje analize razširila izven dosega algebrskih metod. Metodo logaritmov je javno predstavil John Napier leta 1614 v knjigi z naslovom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudovitega pravila logaritmov). Pred Napierjevim izumom so obstajale še druge tehnike podobnega obsega, na primer metoda prostafereza ali uporaba tabel zaporedij, ki jih je obširno razvil Jost Bürgi okoli leta 1600. Napier je izraz za logaritem skoval v srednji latinščini, "logarithmus", ki izhaja iz grščine, dobesedno pomeni "razmerje-število", iz logos "delež, razmerje, beseda" + aritmos "število".

Glej tudi

• dvojiški logaritem
• logaritemsko računalo
• eksponentna funkcija
• Taylorjeva vrsta

Viri

• Stöcker, Horst (2006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. COBISS 229576192. ISBN 86-365-0587-9.

Zunanje povezave

• Več gradiva o temi Logaritem v Wikimedijini zbirki
• Praktik.si: Video razlaga logaritma
• Weisstein, Eric W. "Logarithm". MathWorld.