Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Diferenciacija in izpeljava

uredi
 

Definicija z diferenčnim količnikom

uredi

Naj bo   funkcija  -a.

 

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

 

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost

uredi

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.

Odvod kot funkcija

uredi

Višji odvodi

uredi

Zapisovanje odvoda

uredi

Leibnizev zapis

uredi

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

 

Višje odvode zapišemo kot

 

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis

uredi

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis

uredi

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

 

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis

uredi

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda

uredi
Glavni članek: Tabela odvodov.

Pravila za sestavljanje funkcij

uredi
  • odvod vsote/razlike:
 
  • odvod produkta:
 
  • odvod količnika:
 
  • odvod kompozituma:
 

Odvodi elementarnih funkcij

uredi
  • odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem
 
  • odvod potence: če je  , kjer je r realno število, potem
 ,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi   in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

  • odvod eksponentne funkcije:
    • Naravna eksponentna funkcija   se pri odvajanju ne spremeni:  .
    • V splošnem pa je odvod funkcije   enak  .
  • odvod logaritemske funkcije:
    • Naravna logaritemska funkcija   ima odvod  .
    • V splošnem je odvod logaritemske funkcije   enak  .

Odvodi trigonometrijskih funkcij

uredi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odvodi drugih funkcij:

uredi

 (k)' je konstanta

 

 

 

Odvajanje v višjih razsežnostih

uredi

Odvajanje vektorskih funkcij

uredi

Parcialno odvajanje

uredi

Smerni odvod

uredi

Naj bo   skalarno polje in   neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja  .

Ogledamo si izraz

 

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri  

 

Sledi

 
pri čemer je   enotski vektor.

Torej

  enotski
 

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial

uredi

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

 

Glej tudi

uredi

Zunanje povezave

uredi