Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.
Diferenciacija in izpeljava Uredi
m
=
sprememba v
y
sprememba v
x
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}}
Definicija z diferenčnim količnikom Uredi
Naj bo
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient . Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti .
Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti :
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}}
diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a . Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu ).
Zveznost in odvedljivost Uredi Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.
Odvod kot funkcija Uredi Višji odvodi Uredi
Zapisovanje odvoda Uredi
Leibnizev zapis Uredi Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
d
y
d
x
,
d
(
f
(
x
)
)
d
x
,
a
l
i
d
d
x
(
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.}
Višje odvode zapišemo kot
d
n
y
d
x
n
,
d
n
(
f
(
x
)
)
d
x
n
,
a
l
i
d
n
d
x
n
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
za n -ti odvod funkcije y=f(x)
Lagrangeev zapis Uredi Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange . Za oznako je uporabil znak unča . Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
Newtonov zapis Uredi Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t , njen odvod zapišemo
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki , kjer je običajno s piko označen časovni odvod , oziroma odvod po času .
Eulerjev zapis Uredi Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D , ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df .
Računanje odvoda Uredi
Glavni članek: Tabela odvodov . Pravila za sestavljanje funkcij Uredi
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,}
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,}
Odvodi elementarnih funkcij Uredi odvod konstante : če je g(x) = c (konstanta), potem
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0\,\!}
odvod potence : če je
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}\,}
r realno število , potem
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}
Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana.
Na primer: če je r = 1/2, sledi
f
′
(
x
)
=
(
1
/
2
)
x
−
1
/
2
{\displaystyle f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,}
x .
odvod eksponentne funkcije :
Naravna eksponentna funkcija
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f'(x)=e^{x}\,\!}
V splošnem pa je odvod funkcije
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
a
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\,\!}
odvod logaritemske funkcije :
Naravna logaritemska funkcija
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle f(x)=\ln x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}
V splošnem je odvod logaritemske funkcije
f
(
x
)
=
log
a
x
{\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}}
Odvodi trigonometrijskih funkcij Uredi
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\!}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
cos
2
x
{\displaystyle (\sin 2x)'=2\cos 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
2
x
{\displaystyle (\cos 2x)'=-2\sin 2x\!}
(
sin
(
n
x
)
)
′
=
n
cos
(
n
x
)
{\displaystyle (\sin(nx))'=n\cos(nx)\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
{\displaystyle (\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
x
cos
x
=
−
sin
2
x
{\displaystyle (\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!}
(
sin
n
x
)
′
=
n
sin
(
n
−
1
)
x
cos
x
{\displaystyle (\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!}
(
cos
n
x
)
′
=
−
n
sin
x
cos
(
n
−
1
)
x
{\displaystyle (\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!}
(
tan
x
)
′
=
1
cos
2
x
;
cos
x
≠
0
{\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0}
(
cot
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
;
sin
x
≠
0
{\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Odvodi drugih funkcij: Uredi
(
k
)
′
=
0
{\displaystyle (k)'=0}
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
(
ln
|
x
|
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln |x|)'={\frac {1}{x}}}
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
Odvajanje v višjih razsežnostih Uredi
Odvajanje vektorskih funkcij Uredi Parcialno odvajanje Uredi Smerni odvod Uredi Naj bo
n
{\displaystyle n}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Ogledamo si izraz
lim
h
→
0
u
(
x
+
h
b
1
,
y
+
h
b
2
,
z
+
h
b
3
)
−
u
(
x
,
y
,
z
)
h
=
d
u
d
b
→
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}}
Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
d
u
d
h
=
d
u
d
x
d
x
d
h
+
d
u
d
y
d
y
d
h
+
d
u
d
z
d
z
d
h
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!}
Sledi
d
u
d
b
→
=
d
u
d
x
b
1
+
d
u
d
y
b
2
+
d
u
d
z
b
3
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}}
pri čemer je
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Torej
d
u
d
b
→
=
grad
u
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
=
grad
u
b
→
,
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}}
d
u
d
b
→
=
grad
u
⋅
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}}
Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial Uredi Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov
primer za vpeljavo novih spremenljivk:
J
=
|
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
|
{\displaystyle J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}}
Posplošitve Uredi
Zunanje povezave Uredi 
Opredelitve v Wikislovarju
Predstavnosti v Zbirki
Novice v Wikinovicah
Navedki v Wikinavedku
Besedila v Wikiviru
Učbeniki v Wikiknjigah
Viri v Wikiverzi
