Odpre glavni meni

Diferenciacija in izpeljavaUredi

 

Definicija z diferenčnim količnikomUredi

Naj bo   funkcija  -a.

 

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

 

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivostUredi

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja

Odvod kot funkcijaUredi

Višji odvodiUredi

Zapisovanje odvodaUredi

Leibnizev zapisUredi

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

 

Višje odvode zapišemo kot

 

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapisUredi

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapisUredi

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

 

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapisUredi

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvodaUredi

Glavni članek: Tabela odvodov.

Pravila za sestavljanje funkcijUredi

  • odvod vsote/razlike:
 
  • odvod produkta:
 
  • odvod količnika:
 
  • odvod kompozituma:
 

Odvodi elementarnih funkcijUredi

  • odvod konstante: če je f(x) = c (konstanta), potem
 
  • odvod potence: če je  , kjer je r realno število, potem
 ,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi   in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

  • odvod eksponentne funkcije:
    • Naravna eksponentna funkcija   se pri odvajanju ne spremeni:  .
    • V splošnem pa je odvod funkcije   enak  .
  • odvod logaritemske funkcije:
    • Naravna logaritemska funkcija   ima odvod  .
    • V splošnem je odvod logaritemske funkcije   enak  .

Odvodi trigonometrijskih funkcijUredi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odvodi drugih funkcij:Uredi

 (k)' je konstanta

 

 

 

Odvajanje v višjih razsežnostihUredi

Odvajanje vektorskih funkcijUredi

Parcialno odvajanjeUredi

Smerni odvodUredi

Naj bo   skalarno polje in   neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja  .

Ogledamo si izraz

 

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri  

 

Sledi

 
pri čemer je   enotski vektor.

Torej

  enotski
 

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencialUredi

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

 

PosplošitveUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

Podatki o pojmu Odvod so morda na razpolago tudi v katerem izmed sorodnih projektov Wikipedije:

  Slovarske definicije v Wikislovarju
  Učbeniki v Wikiknjigah
  Navedki v Wikinavedku
  Izvorna besedila v Wikiviru
  Slike, zvok in animacije v Zbirki