Eksponentni integral

Eksponéntni integrál (tudi integrálna eksponéntna fúnkcija,[1]:203 označba Ei) je v matematiki specialna nelementarna funkcija v kompleksni ravnini. Definirana je kot poseben določeni integral razmerja med eksponentno funkcijo in njegovim argumentom.

Grafa funkcij E1 (zgoraj) in Ei (spodaj)

DefinicijeUredi

Za realne neničelne vrednosti x je eksponentni integral Ei(x) definiran kot:

 

Rischev algoritem pokaže, da funkcija Ei ni elementarna. Zgornja definicija se lahko uporabi za pozitivne vrednosti x, vendar je treba integral razumeti v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti zaradi singularnosti integranda v točki 0.

Za kompleksne vrednosti argumenta je ta definicija dvoumna zaradi vejišč v 0 in  .[2] Zaradi tega se namesto Ei uporablja naslednji zapis:[3]

 

V splošnem je prerez vejišča vzet na negativni realni osi in se lahko funkcija E1 definira z analitičnim nadaljevanjem vseepovsod drugod v kompleksni ravnini.

Za pozitivne vrednosti realnega dela   se lahko to zapiše kot:[4]

 

Obnašanje funkcije E1 blizu prereza vejišča se lahko vidi z naslednjim izrazom:[5]

 

ZnačilnostiUredi

Več spodnjih značilnosti eksponentnega integrala v določenih primerih omogoča izogib eksplicitni določitvi vrednosti prek zgornje definicije.

Konvergentne vrsteUredi

Če se integrira Taylorjeva vrsta za   in izloči logoritemska singularnost, se lahko izpelje naslednji razvoj v vrsto za funkcijo   za realne  :[6]

 

Za kompleksne argumente stran od negativne realne osi se to posploši v:[7]

 

kjer je   Euler-Mascheronijeva konstanta. Vsota konvergira za vse kompleksne  , tako da se za običajno vrenost kompleksnega logaritma vzame prerez vejišča vzdolž negativne realne osi.

S to formulo se lahko izračuna   z operacijami s plavajočo vejico za realne   med 0 in 2,5. Za   je rezultat netočen zaradi izgube pomembnosti.

Hitreje konvergirajočo vrsto je našel Ramanudžan:

 

Asimptotične (divergentne) vrsteUredi

 
Relativna napaka asimptotičnega približka za različno število členov   v prisekani vsoti

Konvergenca zgornje vrste je počasna za argumente z večjim modulom. Za   je na primer potrebno več kot 40 členov za vrednost točno na tri decimalna mesta.[8] Obstaja pa približek z divergentno vrsto, ki se lahko dobi z integracijo   po delih:[9]

 

z napako reda   in velja za velike vrednosti  . Relativna napaka zgornjega približka je prikazana na desni sliki za različne vrednosti členov   v prisekani vsoti (  rdeče,   rožnato).

Eksponentno in logaritemsko obnašanje: izenačevanjeUredi

 
Izenačevanje funkcije   z dvema elementarnima funkcijama

Iz dveh vrst predlaganih v predhodnih razdelkih sledi, da se funkcija   obnaša kot negativna eksponentna funkcija za velike vrednosti argumenta in kot logaritem za majhne vrednosti. Za pozitivne realne vrednosti argumenta se lahko funkcija   izenači z elementarnimi funkcijami kot sledi:[10]

 

Leva stran te neenakosti je prikazana na levem grafu modro; osrednji del   črno, desna stran pa rdeče.

Definicija s funkcijo EinUredi

Obe funkciji   in   se lahko zapišeta preprostejši obliki s pomočjo cele funkcije  ,[11] definirane kot:

 

(to je le alternirajoča vrsta v zgornji definiciji funkcije  ). Potem velja:

 
 

Povezava z drugimi funkcijamiUredi

EKsponentni integral je v tesni povezavi z logaritemskim integralom li(x) s formulo:

 

za pozitivne realne vrednosti  .

Eksponentni integral se lahko posploši na:

 

kar se lahko zapiše kot poseben primer nepopolne funkcije gama:[12]

 

Posplošena oblika se včasih imenuje Misrova funkcija,[13]  , definirana kot:

 

Z upoštevanjem logaritma se definira posplošena integralsko-eksponentna funkcija:[14]

 

Nedoločeni integral:

 

je po obliki podoben navadni rodovni funkciji za  , številu deliteljev  :

 

OdvajanjeUredi

Odvode posplošenih funkcij   se lahko izračuna s formulo:[15]

 

Funkcija   se preprosto izračuna, zaradi česar je ta rekurzija uporabna, ker velja  .[16]

Eksponentni integral imaginarnega argumentaUredi

 
Graf funkcije   v odvisnosti od  ; realni del črno, imaginarni del rdeče.

Če je   imaginaren, ima nenegativni realni del, tako da se lahko uporabi formula:

 

za povezavo s trigonometričnima integraloma   in  :

 

Realna in imaginarna dela funkcije   sta prikazana na desni sliki s črno in rdečo krivuljo.

Računanje in približkiUredi

Za funkcijo eksponentnega integrala obstaja več približkov. Med njimi so:

  • približek Swameeja in Ohije:[17]
 
kjer je   in  ,
 
kjer je  ,  ,   in  ,
 
  • približek Barryja s sodelavcema:[19]
 
kjer je  ,  ,  ,  ,  , in tu   Euler-Mascheronijeva konstanta.

Posebne vrednostiUredi

 
 
 
 
 
  (OEIS A091725),
 

Ničla ( ) ima vrednost:

  (OEIS A091723).

UporabaUredi

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi