Polpolieder

(Preusmerjeno s strani Hemipolieder)

Polpolieder (tudi hemipolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te pol (»hemi«) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona »hemi«.[1]

Predpona »hemi« se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je npr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.

Wythoffov simbol in slika ogliščUredi

Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.

Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:

 
tetrahemiheksaeder
3/2 3 ǀ 2
(3.4.3/2.4)
(p/q = 3, r = 2)
 
oktahemioktaeder
3/2 3 ǀ 3
(3.6.3/2.6)
(p/q = 3, r = 3)
 
mali ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5
(3.10.3/2.10)
(p/q = 3, r = 5)
 
veliki ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5/3
(3.10/3.3/2.10/3)
(p/q = 3, r = 5/3)
 
mali dodekahemiikozaeder
5/3 5/2 ǀ 3
(5/2.6.5/3.6)
(p/q = 5/2, r = 3)
   
kubohemioktaeder
4/3 4 ǀ 3
(4.6.4/3.6)
(p/q = 4, r = 3)
 
mali dodekahemidodekaeder
5/4 5 ǀ 5
(5.10.5/4.10)
(p/q = 5, r = 5)
 
veliki dodecahemidodecahedron
5/3 5/2 ǀ 5/3
(5/2.10/3.5/3.10/3)
(p/q = 5/2, r = 5/3)
 
veliki dodekahemiikozaeder
5/4 5 ǀ 3
(5.6.5/4.6)
(p/q = 5, r = 3)

OrientabilnostUredi

Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali polpoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.

Dualna telesa polpoliedrovUredi

Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.

Obstoja devet takšnih dualov:

         
tetrahemiheksakron
oktahemioktakron
in heksahemioktakron
mali ikozihemidodekakron
in mali dodekahemidodekakron
veliki dodekahemidodekakron
in veliki ikozihemidodekakron
veliki dodekahemiikozakron
in mali dodekahemiikozakron
3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem

Odnosi s kvazipravilnimi poliedriUredi

Polpoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo polstranske ploskve polpoliedra. Tako se lahko polpolieder dobi iz kvazipravilnih poliedrov tako, da se zavrže m- in n-kotnike in se potem vpelje polstranske ploskve. Ker se je zavrglo m- in n-kotnike, se lahko vsakega od dveh polpoliedrov dobi iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa se ne da narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne polstranske ploskve. [1]

Ker imajo polpoliedri tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okrog vsakega oglišča, se jih obravnava tudi kot kvazipravilne.[1]

Kvazipravilni poliedri
m.n.m.n
polstranske ploskve
(h-kotniki)
polpoliedri z m-kotniki uprabljeni z
m.h.m/m - 1.h
polpolieder z n-kotniki uporabljen z
n.h.n/n - 1.h
 
tetratetraeder
3.3.3.3
m = 3, n = 3
 
kvadrati
{4}
 
 
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
 
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
 
kubooktaeder
3.4.3.4
m = 3, n = 4
 
šestkotniki
{6}
 
 
kubohemioktaeder
4.6.4/3.6
 
 
oktahemioktaeder
3.6.3/2.6
 
 
ikozidodekaeder
3.5.3.5
m = 3, n = 5
 
desetkotniki
{10}
 
 
mali dodekahemidodekaeder
5.10.5/4.10
 
 
mali ikozihemidodekaeder
3.10.3/2.10
 
 
dodekadodekaeder
5.5/2.5.5/2
m = 5, n = 5/2
 
šestkotniki
{6}
 
 
mali dodekahemikozaeder
5/2.6.5/3.6
 
 
veliki dodekahemiikozaeder
5.6.5/4.6
 
 
veliki ikozidodekaeder
3.5/2.3.5/2
m = 3, n = 5/2
 
dekagrami
{10/3}
 
 
veliki dodekahemidodekaeder
5/2.10/3.5/3.10/3
 
 
veliki ikozihemidodekaeder
3.10/3.3/2.10/3
 

Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).

SkliciUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). "Quasiregular Polyhedra". Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno dne 6. maj 2012.
  2. (Wenninger 2003, str. 101)