Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti
oznaka
GEV
(
μ
,
σ
,
ξ
)
{\displaystyle {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )}
parametri
μ
ϵ
R
{\displaystyle \mu \epsilon R\!}
— parameter lokacije ,
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0\!}
— parameter merila ,
ξ
ϵ
R
{\displaystyle \xi \epsilon R\!}
— parameter oblike
interval
x
ϵ
[
μ
−
σ
/
ξ
,
+
ω
)
{\displaystyle x\epsilon [\mu -\sigma /\xi ,+\omega )\!}
,kadar je
ξ
>
0
{\displaystyle \xi >0\!}
,
x
ϵ
(
−
∞
+
∞
)
{\displaystyle x\epsilon (-\infty +\infty )\!}
, kadar je
ξ
=
0
{\displaystyle \xi =0\!}
,
x
ϵ
(
−
∞
,
μ
−
σ
/
ξ
]
{\displaystyle x\epsilon (-\infty ,\mu -\sigma /\xi ]\!}
, kadar je
ξ
<
0
{\displaystyle \xi <0\!}
funkcija gostote verjetnosti (pdf)
1
σ
t
(
x
)
ξ
+
1
e
−
t
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}\,t(x)^{\xi +1}e^{-t(x)},}
kjer je
t
(
x
)
=
{
(
1
+
ξ
x
−
μ
σ
)
−
1
/
ξ
za
ξ
≠
0
e
−
(
x
−
μ
)
/
σ
za
ξ
=
0
{\displaystyle t(x)={\begin{cases}{\big (}1+\xi {\tfrac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{-1/\xi }&{\textrm {za}}\ \xi \neq 0\\e^{-(x-\mu )/\sigma }&{\textrm {za}}\ \xi =0\end{cases}}}
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
e
−
t
(
x
)
,
{\displaystyle e^{-t(x)},\,}
za
x
iz intervala
{\displaystyle x{\text{ iz intervala}}\!}
pričakovana vrednost
{
μ
+
σ
Γ
(
1
−
ξ
)
−
1
ξ
kadar je
ξ
≠
0
,
ξ
<
1
,
μ
+
σ
γ
kadar je
ξ
=
0
,
ne obstoja
kadar je
ξ
≥
1
,
{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {\Gamma (1-\xi )-1}{\xi }}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\xi <1,\\\mu +\sigma \,\gamma &{\text{kadar je}}\ \xi =0,\\{\text{ne obstoja}}&{\text{kadar je}}\ \xi \geq 1,\end{cases}}}
kjer je
γ
{\displaystyle \gamma \!}
Euler-Mascheronijeva konstanta
mediana
{
μ
+
σ
(
ln
2
)
−
ξ
−
1
ξ
kadar je
ξ
≠
0
,
μ
−
σ
ln
ln
2
kadar je
ξ
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {(\ln 2)^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\\\mu -\sigma \ln \ln 2&{\text{kadar je}}\ \xi =0.\end{cases}}}
modus
{
μ
+
σ
(
1
+
ξ
)
−
ξ
−
1
ξ
kadar je
ξ
≠
0
,
μ
kadar je
ξ
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\\\mu &{\text{kadar je}}\ \xi =0.\end{cases}}}
varianca
{
σ
2
(
g
2
−
g
1
2
)
/
ξ
2
kadar je
ξ
≠
0
,
ξ
<
1
2
,
σ
2
π
2
6
kadar je
ξ
=
0
,
ne obstoja
kadar je
ξ
≥
1
2
,
{\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,(g_{2}-g_{1}^{2})/\xi ^{2}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{2}},\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{kadar je}}\ \xi =0,\\{\text{ne obstoja}}&{\text{kadar je}}\ \xi \geq {\frac {1}{2}},\end{cases}}}
kjer je
g
k
=
Γ
(
1
−
k
ξ
)
{\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )\!}
simetrija
g
3
−
3
g
1
g
2
+
2
g
1
3
(
g
2
−
g
1
2
)
3
/
2
{\displaystyle {\frac {g_{3}-3g_{1}g_{2}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}
sploščenost
g
4
−
4
g
1
g
3
+
6
g
2
g
1
2
−
3
g
1
4
(
g
2
−
g
1
2
)
2
{\displaystyle {\frac {g_{4}-4g_{1}g_{3}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}}
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija
Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti (tudi Fisher-Tippettova porazdelitev )je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev , ki je določena s tremi parametri.
Razvita je bila v okviru teorije ekstremnih vrednosti . V resnici je kombinacije treh porazdelitev Gumbelove , Fréchetove in Weibullove porazdelitve . Te tri porazdelitve so znane tudi kot porazdelitve ekstremnih vrednosti tipa I, II in III. Včasih jo imenujejo tudi kot Fisher-Tippettova porazdelitev. Imenuje se po Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in Leonardu Henryju Calebu Tippettu (1902 – 1985), ki sta prva proučevala vse tri tipe porazdelitev ekstremnih vrednosti.
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je
f
(
x
;
μ
,
σ
,
ξ
)
=
1
σ
[
1
+
ξ
(
x
−
μ
σ
)
]
(
−
1
/
ξ
)
−
1
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{\sigma }}\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{(-1/\xi )-1}}
exp
{
−
[
1
+
ξ
(
x
−
μ
σ
)
]
−
1
/
ξ
}
{\displaystyle \exp \left\{-\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{-1/\xi }\right\}}
kjer je
t
(
x
)
=
{
(
1
+
ξ
x
−
μ
σ
)
−
1
/
ξ
za
ξ
≠
0
e
−
(
x
−
μ
)
/
σ
za
ξ
=
0
{\displaystyle t(x)={\begin{cases}{\big (}1+\xi {\tfrac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{-1/\xi }&{\textrm {za}}\ \xi \neq 0\\e^{-(x-\mu )/\sigma }&{\textrm {za}}\ \xi =0\end{cases}}}
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
:
F
(
x
;
μ
,
σ
,
ξ
)
=
exp
{
−
[
1
+
ξ
(
x
−
μ
σ
)
]
−
1
/
ξ
}
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )=\exp \left\{-\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{-1/\xi }\right\}}
Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
{
μ
+
σ
Γ
(
1
−
ξ
)
−
1
ξ
kadar je
ξ
≠
0
,
ξ
<
1
,
μ
+
σ
γ
kadar je
ξ
=
0
,
ne obstoja
kadar je
ξ
≥
1
,
{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {\Gamma (1-\xi )-1}{\xi }}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\xi <1,\\\mu +\sigma \,\gamma &{\text{kadar je}}\ \xi =0,\\{\text{ne obstoja}}&{\text{kadar je}}\ \xi \geq 1,\end{cases}}}
kjer je
Varianca je enaka
{
σ
2
(
g
2
−
g
1
2
)
/
ξ
2
kadar je
ξ
≠
0
,
ξ
<
1
2
,
σ
2
π
2
6
kadar je
ξ
=
0
,
ne obstoja
kadar je
ξ
≥
1
2
,
{\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,(g_{2}-g_{1}^{2})/\xi ^{2}&{\text{kadar je}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{2}},\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{kadar je}}\ \xi =0,\\{\text{ne obstoja}}&{\text{kadar je}}\ \xi \geq {\frac {1}{2}},\end{cases}}}
kjer je
g
k
=
Γ
(
1
−
k
ξ
)
{\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )\!}
funkcija gama
Ostale oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti
uredi
Znane so tri oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti:
F
(
x
;
μ
,
σ
)
=
e
−
e
−
(
x
−
μ
)
/
σ
z
a
x
∈
R
.
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=e^{-e^{-(x-\mu )/\sigma }}\;\;\;za\;\;x\in \mathbb {R} .}
F
(
x
;
μ
,
σ
,
α
)
=
{
0
x
≤
μ
e
−
(
(
x
−
μ
)
/
σ
)
−
α
x
>
μ
.
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\alpha )={\begin{cases}0&x\leq \mu \\e^{-((x-\mu )/\sigma )^{-\alpha }}&x>\mu .\end{cases}}}
F
(
x
;
μ
,
σ
,
α
)
=
{
e
−
(
−
(
x
−
μ
)
/
σ
)
α
x
<
μ
1
x
≥
μ
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\alpha )={\begin{cases}e^{-(-(x-\mu )/\sigma )^{\alpha }}&x<\mu \\1&x\geq \mu \end{cases}}}
kjer je
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0\!}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0\!}
.
Povezave med temi tremi porazdelitvami lahko opišemo na naslednji način:
Kadar je zbirna funkcija porazdelitve neke slučajne spremenljivke
X
{\displaystyle X\!}
, ki ima ekstremne vrednosti porazdeljene po porazdelitvah tipa II ali
F
(
x
,
0
,
σ
,
α
)
{\displaystyle F(x,0,\sigma ,\alpha )\!}
, potem ima zbirna funkcija porazdelitve slučajne spremenljivke
l
n
X
{\displaystyle lnX\!}
porazdelitev tipa I ali
F
(
x
,
l
n
σ
,
1
/
α
)
{\displaystyle F(x,ln\sigma ,1/\alpha )\!}
. Podobno je takrat, ko ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
porazdelitev tipa III oziroma
F
(
x
,
0
,
σ
,
α
)
{\displaystyle F(x,0,\sigma ,\alpha )\!}
, potem je zbirna funkcija porazdelitve za
l
n
X
{\displaystyle lnX\!}
tipa I.