Weibullova porazdelitev

Weibullova porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po Waloddiju Weibullu (1887 – 1979), ki je to vrsto porazdelitve opisal v letu 1951. Prvi pa jo je opisal francoski matematik Maurice René Fréchet (1878 – 1973).

Wiebullova (2 parametrična) porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
oznaka	$Wei(\lambda ,k)\!$
parametri	$\lambda >0\,$ parameter merila (realno število) $k>0\,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in [0;+\infty )\,$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
pričakovana vrednost	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
mediana	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
modus	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ če je $k>1\!$
varianca	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
simetrija	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
sploščenost	(glej opis na levi strani))
entropija	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$
karakteristična funkcija	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

Pomembno področje uporabe Weibullove porazdelitve je analiza preživetja oziroma analiza zanesljivosti (odpovedi) tehničnih naprav.

Za različne vrednosti parametra k velja :

• Če je k<1, pogostost odpovedi pada s časom. To se zgodi, če obstojajo pomembne začetne odpovedi posameznih komponent naprave.
• Kadar je k = 1 imamo stanje v katerem je število odpovedi konstantno v časovnem obdobju. To pomeni, da samo slučajni zunanji vplivi povzročajo odpovedi posameznih komponent naprave.
• Kadar pa je k>1, nam to pomeni, da število odpovedi raste s časom. To je lahko posledica staranja.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev je

$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

kjer je

• $\lambda \!$ parameter merila, ki je realno število.
• $k\!$ parameter oblike, ki je prav tako realno število.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,\!$.

kjer je

• $\Gamma (1+{\frac {1}{k}})\!$ funkcija gama.

Varianca

Varianca je enaka

$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$.

kjer je

• $\Gamma (1+{\frac {2}{k}})\!$ funkcija gama.

Sploščenost

Sploščenost je enaka je enaka

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}$

kjer je

• $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)\!$ funkcija gama.

Sploščenost lahko napišemo tudi kot

$\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$.

Entropija

Entropija je enaka

$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$

kjer je

• $\gamma \!$ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je enaka:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

Weibullova porazdelitev s tremi parametri

Posplošitev Weibullove porazdelitve z dvema parametroma je Weibullova porazdelitev s tremi parametri. Zanjo je funkcija gostote verjetnosti enaka

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$

kjer je

• $\lambda \!$ parameter merila
• $k\!$ parameter oblike
• $\theta \!$ parameter lokacije.

Weibullovo porazdelitev z dvema parametroma dobimo, če je $\theta =0\!$.

Weibullova porazdelitev z enim parametrom

Weibullovo porazdelitev z enim prametrom dobimo, če je $k=C\!$ (konstanta) in je v porazdelitvi s tremi parametri vrednost $\theta =0\!$:

$f(x;\lambda )={C \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{C-1}e^{-({x \over \lambda })^{C}}\,$

kjer je

• $\lambda \!$ parameter merila

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je parameter k enak 1, postane Weibullova porazdelitev eksponentna porazdelitev:

$\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {Wei} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)$.

• Kadar je k = 2, dobimo Rayleighovo porazdelitev

Uporaba

Weibullova porazdelitev se uporablja na naslednjih področjih

• analiza preživetja
• teorija ekstremnih vrednosti
• napovedovanje vremena
• analiza zanesljivosti tehničnih naprav
• analiza porazdelitve hitrosti vetra
• splošni model zavarovanja

Zunanje povezave

• Weibullova porazdelitev na MathWorld (angleško)
• Primer uporabe Weibullove porazdelitve Arhivirano 2007-10-26 na Wayback Machine. (slovensko)
• Opis weibullove porazdelitve (angleško)
• Simulacija Weibullove porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev