Euler-Mascheronijeva konstanta

Euler-Mascheronijeva konstánta [ôjler-mašerónijeva ~] je matematična konstanta, ki se največ uporablja v analizi in teoriji števil. Po navadi je označena z majhno grško črko γ (gama). Določena je kot limita razlike med harmonično vrsto in naravnim logaritmom:

Dvojiško 0,1001001111000100011...
Desetiško 0,5772156649015328606...
Dvanajstiško 0,6B15188A6760B389884...
Šestnajstiško 0,93C467E37DB0C7A4D1B...
Verižni ulomek
Verižni ulomek γ ima vsaj 470.000 členov..[1]

Konstanta je podana tudi s posplošenim integralom:

Njena desetiška vrednost je (OEIS A001620):

γ = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Od 3. januarja 2008 je znanih 131,151,000 števk.

ZgodovinaUredi

Konstanto je prvi uvedel Leonhard Euler (1707–1783) leta 1734 z zgornjo limito in izračunal prvih pet števk z vrednostjo γ = 0,577218. Konstanto je označil s C in O ter izračunal še prvih 16 števk leta 1781. Konstanta se je pojavila leta 1735 v njegovem članku De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Zaradi tega se včasih imenuje tudi Eulerjeva konstanta.

Geometer Lorenzo Mascheroni (1750–1800), ki je izračunal 32 števk, 19 pa je bilo pravilnih, je leta 1790 za konstanto uporabljal črko A. Znak γ se drugače ne pojavlja nikjer v Eulerjevem ali Mascheronijevem delu, in so ga izbrali kasneje zaradi povezave konstante s funkcijo Γ.[2]

UporabaUredi

Euler-Mascheronijeva konstanta se med drugim pojavlja v:

 
 
 
 
  • enačbi za produkt funkcije Γ:
 
 
 
 
 
 

ZnačilnostiUredi

Ni znano ali je konstanta γ algebrsko ali transcendentno število. Ni znano niti ali je iracionalno število ali ne. Raziskave verižnih ulomkov kažejo, da če je γ racionalno število a/b, ima njen imenovalec b vsaj 242.080 števk.[1] Hardy je menda ponudil svoj odstop od stolice na Univerzi v Oxfordu vsakomur, ki bi dokazal ali je γ iracionalna, čeprav ni o tem nobenega pisnega vira. Conway in Guy sta pripravljena staviti, da je transcendentno število, čeprav v svojih življenjih ne pričakujeta dokaza. Ker je γ prisotna na mnogih področjih, predstavlja njena iracionalnost enega od glavnih nerešenih problemov v matematiki.[3]

SkliciUredi

ViriUredi

  • Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571
  • Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 0-691-09983-9
  • Krämer, Stefan (2005), "Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen", Diplomska naloga, Univerza v Göttingenu
  • Sondow, Jonathan (2003), An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ., arXiv:math.CA/0306008

Zunanje povezaveUredi