Sinusoidna spirala

Sinusoidna spirala pripada družini krivulj, ki pa niso prave spirale.

Sinusoidna spirala za $n=2{,}5$ (polna črta rdeča) in $n=-2{,}5$ (črtkana črta rdeča ).

Sinusoidne spirale je prvi proučeval škotski matematik Colin Maclaurin (1698 – 1746).

Sinusoidna spirala v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba sinusoidne spirale enaka

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

kjer je

• $a\,$ neničelna konstanta
• $n\,$ racionalno število, različno od 0.

Z vrtenjem okoli izhodišča je enačba sinusoidne spirale

$r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$

kjer so oznake enake kot zgoraj.

Med sinusoidne spirale prištevamo večje število krivulj, ki se razlikujejo med seboj po vrednosti parametra n:

n	vrsta krivulje
-2	hiperbola
-1	premica
-1/2	parabola
-1/3	Tschirnhausova kubična krivulja
1/3	Cayleyjeva sekstika
1/2	srčnica
1	krožnica
2	Bernoullijeva lemniskata
3	Kiepertova krivulja

Ukrivljenost

Ukrivljenost sinusoidne spirale je enaka

${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.

Lastnosti

• inverzna oblika sinusoidne spirale glede na krožnico s središčem v izhodišču je druga sinusoidna spirala, ki ima n enak vendar z obratnim predznakom kot originalna krivulja.
• izoptika, nožiščna krivulja in negativna nožiščna krivulja sinusoidne spirale so različne sinusoidne spirale.
• pot telesa, ki se giblje pod vplivom centralne sile sorazmerne s potenco razdalje, je sinusoidna spirala.

Glej tudi

• spirala
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Sinusoidal Spiral«. MathWorld.
• Sinusoidna spirala na 2dcurves.com (angleško)
• Sinusoidna spirala Arhivirano 2012-04-07 na Wayback Machine. na MacTutor History of Mathematics (angleško)
• Sinusoidna spirala na Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)