Inverzna krivulja

Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo $C\,$ rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo $C\,$.

Krivuljo srčnico (zeleno) dobimo z inverzijo parabole (rdeče) s pomočjo krožnice (črtkano).

Opis

Dano imamo fiksno krožnico s središčem v $O\,$ in polmerom $r\,$. Inverzno (obratno) točko $Q\,$ točke $P\,$, ki leži na daljici QO in zanjo velja $OP.PQ=k^{2}\,$. Geometrijsko mesto točk $P\,$, ko se giblje $Q\,$ po krivulji $C\,$, se imenuje inverzna krivulja krivulje $C\,$. Točka $O\,$ se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost $k\,$ pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

Oblike

Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča $(X,Y)\,$ ima koordinate

$X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},$

ali, kar je enakovredno

$x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.$.

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z $f(x,y)=0\,$, glede na enotski krog, dobimo

$f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.$.

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje $n\,$ zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo $2n\,$.

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot

$x=x(t),\ y=y(t)$. V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot

$X=X(t)={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\ Y=Y(t)={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.$.

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z $f(x,y)=0\,$ glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

$f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},\ b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.$

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama

$x=x(t),\ y=y(t)$,

je glede na neko krožnico, je dana kot

$X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}}.$

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka $f(r,\theta )\,$ glede na enotsko krožnico $f(r,\Theta )\,$ kjer je

$R={\frac {1}{r}},\ \Theta =\theta ,$

ali

$r={\frac {1}{R}},\ \theta =\Theta .$

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo $f(r,\theta )\,$ določena kot $f(1/R,\Theta )=0\,$ in inverzna krivulja krivulje $r=g(\theta )\,$ je enaka $r=1/g(\theta )\,$.

Zgledi

Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\,$.

To nam da

$a^{2}(u^{2}-v^{2})=1,\,$

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezave

• Definicije povezanih krivulj (angleško)
• Inverzne krivulje (angleško)