Inverzna krivulja

Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo .

Krivuljo srčnico (zeleno) dobimo z inverzijo parabole (rdeče) s pomočjo krožnice (črtkano).

OpisUredi

Dano imamo fiksno krožnico s središčem v   in polmerom  . Inverzno (obratno) točko   točke  , ki leži na daljici QO in zanjo velja  . Geometrijsko mesto točk  , ko se giblje   po krivulji  , se imenuje inverzna krivulja krivulje  . Točka   se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost   pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

OblikeUredi

Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča   ima koordinate

 

ali, kar je enakovredno

 .

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z  , glede na enotski krog, dobimo

 .

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje   zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo  .

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot

 . V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot
 .

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z   glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

 

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama

 ,

je glede na neko krožnico, je dana kot

 

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka   glede na enotsko krožnico   kjer je

 

ali

 

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo   določena kot   in inverzna krivulja krivulje   je enaka  .

ZglediUredi

Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo

 .

To nam da

 

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezaveUredi